高中物理教学中的微积分

高中物理教学中的微积分高中物理教学中的微积分摘 要 微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，教师在物理学科教 学中渗透微积分的思想，有助于学生理解高中物理的很多知识，它能大幅提高学生的科学 素养，更好地把握物理的本源 关键词 高中物理 微积分 科学素养 微积分是现代物理的基石，自牛顿和莱布尼茨以来，根据前人的经验，总结出微积 分的基本定理后，物理学有了长足的进步，一系列重大发现基本上都或多或少建立在微积 分这块基石上微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，很多优质高中将微 积分作为选修课列入课程体系，供学习潜力较大的学生选择，这既对学生更好地理解高中 物理规律很有帮助，也对学生将来步入大学理工科打了基础 1 问题引入：加速度、速度与位移间的关系 一般来说，中学生第一次接触到微积分是在运动学的时候，老师会带领学生仔细分 辨 v-t、a-t、s-t 图像的区别如图 1-1，v-t 图象，对于一个速度在不断变化的运动过程， 会将这个过程肢解成无数多个匀速运动叠加的成果，在某个小 dt 内当作匀速运动，求出图 中所有小矩形的面积，也就是 t=t0 与 t 轴和图象包围的面积，作为位移。

这是潜意识中第 一次接触积分时的景象而将每个 dt 内变化的 dv 连成一个的函数，我们也就得到了斜率 的微分意义 所以，小小的速度片断通过时间的积累便成了位移：ds=v�I6dt 同理：小小的加速度片断也可由时间的积累便成了速度：dv=a�I6dt 因此便得出了最简单且最伟大的运动学微分公式： =v 和=a 它们在运动学上和谐统一，通过解微分方程，可以几乎胜任一切涉及到牛二定律的 问题接下来，我们把它们进行推广应用到研究物体运动的情景，通常将之视为理想情况， 而实际上还有空气阻力 2 更进一步：探索变力做功 微积分在物理中最伟大的贡献是提供了优良的解题方法 由以上的分析，对于变力做的功可以表示为 如图 2-1 中，点电荷 A（+q 电量）位于 r 轴的原点 O 处，如有一个单位正电荷 B 从 离 O 相距为 a 处移动到 b 处，求电场力做的功 解析：取 r 为积分，在[a，b]区间内取一小区间： [r，r+dr]，当单位电荷从 r 移动到 r+dr 时，电场力对它作功近似于 dr 因此有 dw=dr 两边积分 w=dr=kq（） 由此可见微积分在解决功能问题上是十分强有力的工具，值得仔细研究。

3 上善若水：由简单流体压强问题的拓展 有时候合理选取积分变量会有意想不到的效果 如图 3-1，将一半球形的半径为 r 的物体浸在水深为 h 的水中，求水对这个物体的总 压力 如果以 O 为原点建立直角坐标系以 x 或 y 为积分变量就太麻烦了我们寻求一种简单易行的方法：以�%a 作为积分变量 因为是均匀半球体，所以水压方向指向球心 O，因此需要 分解到竖直方向 同样的理论也可以推广到电场中，如图 3-2，均匀带电的电密度为�%l 的半球体对球心处一带+q 电荷的力是多少？解法与上例类似，读者可以自己试着推导（F=） 通过上面几则实例我们可以深切地体会到微积分的强大力量， “掌握数学工具解决物 理问题的能力”是高考“考纲”重要要求之一微积分是现代物理的基石，高中物理教材中涉及变量问题的�理思想都是建立在微积分这块基石上，因此，高中物理教学渗透微积分思想很有必要 参考文献 [1] 沈晨.更高更妙的物理[M].浙江大学出版社，2012. [2] 周大同.高中物理竞赛讲义[M].浙江大学出版社，2013. 。