分形艺术欣赏第1页，共93页1、从数学怪物谈起1.1 冯科克（von Koch）曲线第2页，共93页操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”第3页，共93页第4页，共93页科赫曲线（1904年）设设 K K0 0 是单位长直线段；是单位长直线段；K K1 1 是是由由过过原原三三等等分分这这线线段段，去去掉掉中中间间一一份份而而代代之之以以底底边边为为被被去去掉掉的的线线段段的的等等边边三三角角形形向向上上指指的的另另外外两两条条边边所所得得到到图图形形，它它包包 含边长为含边长为 1/3 1/3 的四条线段；的四条线段；对对 K K1 1 的的每每条条线线段段都都重重复复上上述述过过程程来来构构造造 K K2 2，它它包包含含边边长长为为 的的1616条线段；条线段；如如此此继继续续下下去去，于于是是得得到到一一个个曲曲线线序序列列KKn n，其其中中K Kn n是是将将K Kn-1n-1的的每每条条线线段段上上中中间间1/31/3部部分分用用底底边边为为这这1/31/3部部分分的的等等边边三三角角形形向上指的另外两边取代而得到的；向上指的另外两边取代而得到的；当当 n n 充充分分大大时时，曲曲线线 K Kn n 和和 K Kn-1 n-1 只只在在精精细细的的细细节节上上不不同同；而而当当 n n 时，曲线序列时，曲线序列 K Kn n 的极限的极限 就称为就称为科赫曲线科赫曲线科赫曲线科赫曲线。
第5页，共93页科赫曲线 K 的特性nn 科赫曲线科赫曲线 K K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为整体的相似比例均为1/3 1/3；n n K K 具具有有精精细细结结构构，即即在在任任意意小小的的比比例例尺尺度度内内都都包包含含整整体体特特征；征；n n K K 是是无无穷穷次次迭迭代代的的结结果果，连连续续迭迭代代过过程程可可得得到到K K之之越越来来越越好好的的近近似似 K Kn n；n n K K 难难以以用用经经典典的的数数学学语语言言来来描描述述，它它既既不不是是满满足足某某些些简简单单几几何何条条件件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；n n K K 的长度为的长度为 ,而面积为而面积为 0 0第6页，共93页1.2 康托尔集合第7页，共93页康托三分集（1872年）记记 是单位长直线段是单位长直线段 0 0，1 1；设设 是去掉是去掉 中间的中间的 1/3 1/3 部分所得到的集，即部分所得到的集，即 ；然后从构成然后从构成 的的 2 2 个子区间中分别去掉中间的个子区间中分别去掉中间的 1/3 1/3 部分，所得的部分，所得的 4 4 个子区间构成个子区间构成 ，即，即 ；如此继续下去，如此继续下去，是从构成是从构成 的每个区间中分别去掉中间的的每个区间中分别去掉中间的 1/3 1/3 部分而得到的长度为部分而得到的长度为 的的 个子区间之并集；个子区间之并集；当当 充分大时，充分大时，与与 之间只在精细的细节上不同；之间只在精细的细节上不同；康托三分集康托三分集康托三分集康托三分集是指由所有是指由所有 的公共点构成的集，即的公共点构成的集，即 ，C C 实际上是集序列实际上是集序列 当当 n n 趋于无穷时的极限。
趋于无穷时的极限第8页，共93页n n 康托集康托集 C C 是自相似的，迭代过程中每步所保留的是自相似的，迭代过程中每步所保留的两个部分与整体的相似比例均为两个部分与整体的相似比例均为 1/3 1/3；n n C C 具具有有精精细细结结构构，即即在在任任意意小小的的比比例例尺尺度度内内都都包含整体特征；包含整体特征；n n C C 是是无无穷穷次次迭迭代代的的结结果果，连连续续的的迭迭代代过过程程可可得到得到C C之越来越好的近似之越来越好的近似 C Cn n；n n C C 难难以以用用经经典典的的数数学学语语言言来来描描述述，它它既既不不是是满满足足某某些些简简单单几几何何条条件件的的点点的的轨轨迹迹，也也不不是是任任何何简单方程的解集；简单方程的解集；n n C C 是无限不可数集，但其长度为是无限不可数集，但其长度为康托三分集康托三分集 C C 的的特性特性第9页，共93页谢尔平斯基垫片谢尔平斯基垫片 E 前五步的构造1.3 谢尔宾斯基三角第10页，共93页第11页，共93页谢氏地毯第12页，共93页第13页，共93页第14页，共93页第15页，共93页三维谢氏自相似结构谢氏海绵第16页，共93页。
1.4 勾股树第17页，共93页第18页，共93页第19页，共93页第20页，共93页1.5 二元树第21页，共93页第22页，共93页1.6 英国的海岸线有多长？1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度第23页，共93页答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度可贵的是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。
海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质自相似性从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的换言之，海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节要定量地分析像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的经典维数都是整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形维数可以取分数，简称分维第24页，共93页2、分形几何学2.1 欧几里得几何的局限性 自公元前3世纪欧几里得几何基本形成至今已有2000多年欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明欧氏几何主要是基于中小尺度上，点、线面之间的关系这种观念与特定时期人类的实践、认识水平是相适应的20世纪以后，科学的发展极为迅速，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了第25页，共93页2.2 分形几何的产生 1973年，曼德尔布罗特在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想1975年，他在其自然界中的分形几何一书中引入了分形（fractal）这一概念从字面意义上讲，fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括他的分形概念目前数学上大家都认为分形有以下几个特点：（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说分形集具有无限精细的结构；（2）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或都统计的自相似；第26页，共93页。
3）一般，分形集的“分形维数”，严格大于分形集相应的拓扑维数；（4）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生等上述（1）、（2）两项说明分形在结构上的内在规律性自相似性是分形的灵魂，自相似性使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息第（3）项说明了分形的复杂性第（4）项则说明了分形的生成机制第27页，共93页分形的直观描述 曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出 “在尺度变换下保持不变性在尺度变换下保持不变性”（即（即“无标度性无标度性”）这）这一要素，于一要素，于 1986 1986 年给出分形概念以如下的直观描述：年给出分形概念以如下的直观描述：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A A fractal is a shape made of parts similar to the fractal is a shape made of parts similar to the whole in some waywhole in some way）。
亦即：亦即：如果一个图形其组成部分以如果一个图形其组成部分以如果一个图形其组成部分以如果一个图形其组成部分以某种方式与整体相似某种方式与整体相似某种方式与整体相似某种方式与整体相似，则称该图形为分形则称该图形为分形则称该图形为分形则称该图形为分形第28页，共93页2.3 为什么要研究分形？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物 的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展美国著名物理学家惠勒说过：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人第29页，共93页当当我我们们测测量量几几何何图图形形的的长长度度、面面积积和和体体积积时时，分分别别用用单单位位长长线线段段、单单位位面面积积正正方方形形和和单单位位体体积积正正方方体体来来度度量量若若用用单单位位长长线线段段来来测测量量面面积积，而而用用单单位位面面积积正正方方形形来来测测量量体体积积，其其结结果果皆皆为为无无穷穷，说说明明所所用用的的尺尺度度太太“细细”；反反之之，若若用用单单位位面面积积正正方方形形来来测测量量长长度度，用用单单位位体体积积正正方方体体来来测测量量面面积积，则则所所得得的的结结果果皆皆为为 0 0，说说明明所所用用的的尺尺度度太太“粗粗”。
因因此此，选选选选取取取取的的的的尺尺尺尺度度度度必必必必须须须须与与与与所所所所测测测测对对对对象象象象相相相相匹配由维数与测量尺度的密切关系而得的启示由维数与测量尺度的密切关系而得的启示第30页，共93页对于分形这类复杂奇异的的几何对象，上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征量了事实上：n n 对于康托三分集 C，由于所以在测量康托三分集 C时，0 维尺度太细，而 1 维尺度太粗第31页，共93页n n 对于科赫曲线 K，由于 所以在测量科赫曲线在测量科赫曲线 K K 时，时，1 1 维尺度太维尺度太细，而细，而 2 2 维尺度太粗；维尺度太粗；n n 对于对于谢尔平斯基垫片谢尔平斯基垫片谢尔平斯基垫片谢尔平斯基垫片 E E E E 和谢尔平斯基毯片和谢尔平斯基毯片和谢尔平斯基毯片和谢尔平斯基毯片 F F F F ，情况也是如此情况也是如此情况也是如此情况也是如此第32页，共93页n n 对于谢尔平斯基海绵谢尔平斯基海绵 S S ，可以算得，可以算得 所以所以在测量谢尔平斯基海绵在测量谢尔平斯基海绵在测量谢尔平斯基海绵在测量谢尔平斯基海绵 S S S S 时，时，时，时，2 2 2 2 维尺度太细，而维尺度太细，而维尺度太细，而维尺度太细，而 3 3 3 3 维尺度太粗。
维尺度太粗维尺度太粗维尺度太粗n n 显然，当显然，当“长度长度”、“面积面积”、“体积体积 ”为为 0 0 或或+时，使用价值不大，只有几何对时，使用价值不大，只有几何对象的象的“长度长度”、“面积面积”、“体积体积”为有为有限数时，才能比较集合的大小限数时，才能比较集合的大小第33页，共93页将 ，中的 0，1，2，3 用分数甚至无理数 来代替，使得 。