才子教育 小学奥数系列第8讲——巧解分数应用题（三）本讲介绍的分数应用题是较灵活的两种类型，要求同学们能迅速地抓住问题本质，灵活解答1） 通过假设来改变题目中的条件或减少未知量的个数，使得数量关系变得明朗，列式变得简单，推理变得简捷，解题变得容易，这样的解题方法叫做假设法2） 推理的方向与事物发展的方向相反，把事物发展的结果作为推理的起点，逐步还原，以求出最初情况，这种推理方法叫做逆推法一、从“结论”入手倒推例1、食堂买来一批面粉，第一天吃了这批面粉总量的，第二天吃了余下面粉总量的；以后7天，每天分别吃去当天面粉总量的，，，…,,;第10天吃了4袋，正好把所有的面粉都吃完了问：这批面粉原来共有多少袋？分析与解1 根据题意，从地10天，第9天……倒推回去，列式求出这批面粉的总袋数4÷(1-)÷(1-)÷(1-)÷…÷(1-)=4÷÷÷÷…÷=4××××…× =40(袋)分析与解2 这批面粉共吃了10天，把这堆面粉平均分成了10堆第1天吃了这批面粉的，即正好吃了一堆，还剩9堆；第2天吃了余下的，也正好吃了1堆，这时还剩下8堆；第3天吃了再剩下的，也正好是吃了1堆……这样每天吃的都是一堆。
第10天吃了4袋，因此，这批面粉共有4×10=40（袋）答：这批面粉原来共有40袋做一做：山顶有棵桃树，一只猴子第一天偷吃了，以后8天分别偷吃了当天树上桃子的，，…,,，最后树上只剩下10个桃子问：树上原来有多少个桃子？例2、一堆西瓜，第一次卖出总个数的又4个，第二次卖出余下的又2个，第三次卖出第二次余下的又2个，还剩下2个问：这堆西瓜共有多少个？解： （1）在第三次卖出去以前有多少个西瓜？（2+2）÷（1-）=8（个）（2）在第二次卖出去以前有多少个西瓜？ （8+2）÷（1-）=20（个）（3）在第一次卖出去以前有多少个西瓜？ （20+4）÷（1-）=32（个）综合算式得：｛［（2+2）÷+2］÷+4｝÷（1-）=32（个）答：这堆西瓜共有32个做一做：小贩把他所有西瓜的又半个卖给第一个顾客，把余下的又半个卖给第二个顾客，就这样，他把所余西瓜的又半个卖给以后的各个顾客，卖给第七个人以后，他已经一个西瓜也没有了问：这个小贩原来共有西瓜多少个？例3、今有甲、乙、丙三堆棋子98枚，先从甲堆中分棋子给另外两堆，使这两堆棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次，最后把丙堆棋子也这样分配一次，结果甲堆棋子数是丙堆棋子数的，乙堆棋子数是丙堆棋子数的1。
问：三堆棋子中原来最多的一堆棋子是多少枚？解：设丙堆棋子有x枚，则有甲堆棋子有x枚，乙堆棋子有1x枚列方程得x+x+1x=98x=30甲堆现有 30×=24（枚）乙堆现有 30×1=44（枚）甲堆/枚乙堆/枚丙堆/枚第三次后244430第二次后24÷2=1244÷2=2230+12+22=64第一次后12÷2=622+6+32=6064÷2=32 原来6+30+16=5260÷2=30 32÷2=16棋子的变化情况列表如右：答：三堆中原来最多的一堆棋子是52枚小结 以上几个例题都是逆推思考的类型，它的基本思路都是从结论出发，逐步寻找满足问题的条件，借助图形和表格是基本的辅助方法做一做： 有A、B、C、D、E五筐苹果，各筐苹果的数量不等如果把B筐苹果的放入A筐，C筐苹果的放入B筐，D筐苹果的放入C筐，E筐苹果的放入D筐，那么最后五筐苹果都是30千克问：每筐苹果原来各有多少千克？二、从条件入手到假设法解题例4、甲、乙两班共有84人，甲班人数的与乙班人数的共有58人问两班各有多少人？分析与解 已知两班的总人数，，如果甲、乙两班各取本班相同的“份数”，那么这个相同的“份数”就是两班总人数的几分之几。
借助假设法有甲班人数的和乙班人数的（即两班总人数的）是：84×=63（人），（63-58）人就恰好是甲班的（-）甲班人数：（84×-58）÷（-）=5÷=40（人）乙班人数：84-40=44（人）答：甲班有40人，乙班有44人做一做4 学校买来排球和足球共64个，从中借出排球个数的和足球个数的后，还剩下46个问：两种球原来各有多少个？例5、某商场的彩色电视机和黑白电视机共有250台，如果彩色电视机卖出，那么彩色电视机还比黑白电视机多5台问：两种电视机原来各有多少台？ 分析与解：根据题意，作出下图：从图中可以看出来，假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出的后剩下的台数同样多以彩色电视机为单位“1”，黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1-）彩色电视机的数量为：（250+5）÷（1+1-）=255÷=135（台）黑白电视机的数量为：250-135=115（台）答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台小结 例4、例5都是对题中某些条件作出一些假设，从而迅速简捷地得到题解做一做5 学校有排球和足球共21个，排球借出后比足球还多一个，那么，排球和足球原来各有多少个？例6、育才小学上学期有男、女同学共750人，本学期男同学增加，女同学减少，共有710人，本学期男、女同学各有多少人？ 分析与解 假设本期女同学不是减少，而是增加，则本学期应该有750×（1+）=875（人），比实际多875-710=165人。
这165是假设女同学增加后多出了的人数，而实际女生应该减少，所以相差的165人是女同学的+=女同学数有：［750×（1+）-710］÷（+）×（1-）=165÷×=360（人）男同学人数有：710-360=350（人）答：本学期女同学有360人，男同学有350人做一做6：黄金放在水里称，重量减轻；白银放在水里称，重量减轻一块金银合金重770克，放在水里称，重量减轻50克问：这块合金含黄金、白银各多少克？例7、有一堆桃子，第一只猴子把它平均分成4堆，还多一个它先吃掉这一个，拿四堆中的一堆离去第二只猴子又把剩下的桃子平均分成4堆还多一个，它也吃掉这一个，拿四堆中的一堆离去第三、四只猴子来了，也都如此行事问：原来至少有多少个桃子？分析：我们把假设法和逆推法结合起来分析因为这对桃子的个数（设为a）除以4余1，假设这对桃子增加3个，则a+3个刚好平均分成4份设每份为a1个，则a1比原来第一只猴子分的每份多1个，第一只猴子拿a1个离去就相当于原来吃一个拿走一堆；剩下的3堆比原来的3堆多3个，所以第二只猴子来分时就刚好平均分成4份，设每一份为a2，则a2比原来第二只猴子分的每堆多1个……这个过程，如下所示：（a＋3）a1＋a1＋a1＋a1离去 3a1a2＋a2＋a2＋a2离去 3a2a3＋a3＋a3＋a3离去 3a3a4＋a4＋a4＋a4离去 3a4再从最后结果开始逆推：3a3可以平均分成4份，所以a3为4的倍数。
又因为4a3=3a2，所以a2为16的倍数；4a2=3a1，所以a1为64的倍数；4a1=a+3,所以a+3为256的倍数，a至少为256=3=253（个）求剩下的个数时，先“借”3个与253个放在一起分因为第一只猴子拿走256个的（相当于原来的吃一个拿走1个），还剩下（256×）个，第二只猴子拿走后还剩下（256××）个……本题解法是：这堆桃子原来的个数最少是：44-3=253（个）剩下的个数为：44×××-3=78（个）答：这堆桃子原来至少有253个，最后剩下78个做一做7：某班在课堂上进行计算游戏，老师首先在黑板上写一个大于2000而小于3000的整数，第1个学生将老师写的数减1，然后乘以，将所得结果写在黑板上；第2个学生再将第1个学生所写的数减1，然后乘以，再写到黑板上以此类推，全部写完后发现前5个学生写的都是整数，那么第5个学生在黑板上写的数是多少？巧练习——温故知新（八）1、有七根竹竿排成一行，第一根竹竿长1米，其余每根长都是前一根的一半，问：这七根竹竿的总长是几米？2、某种商品连续两次各降价后，售价为81元，问：原价是多少？3、兄弟两人养鸡100只，如果哥哥的鸡卖掉，那么就比弟弟的鸡还多17只。
兄弟两人原来各养了多少只鸡？4、甲、乙两个工程队合挖了一条300米的水渠，甲队挖的比乙队的多55米问：甲、乙两个工程队各挖了多少米？5、有甲、乙两筐橘子，甲筐比乙筐轻7千克，乙筐卖出后，两筐剩下的橘子重量相等问：原来两筐各有多少千克橘子？6、某校六年级有两个班，共种100棵树，二班种的棵数的比一班种的棵树的少16棵问：两个班各种多少棵树？7、有甲、乙两个水杯，甲杯有1000克水，乙杯是空的第一次将甲杯中水的倒入乙杯；第二次又将乙杯中水的倒回甲杯；第三次又将甲杯中水的倒入乙杯中；第四次又将乙杯中水的倒回甲杯照这样来回倒下去，则第2003次之后甲杯例的水还剩多少克？8、有一筐苹果，把它们三等分后还剩下两个；取出其中两份，再将它们三等分后还剩下两个；然后又取出其中两份，再将它们三等分后还剩两个问：这筐苹果至少有多少个？9、张宏买了一堆橘子，第一天吃了又个，第二天吃去剩下的又个，这时剩下5个橘子问：张宏买了多少个橘子？每天各吃多少个橘子？10、耕一块地，第一天耕的比这块地的多2公顷，第二天耕的比剩下的少1公顷，这时还剩下38公顷地没耕问：这块地共有多少公顷？11、张强和刘伟两次交换卡片，每次都是用张强全部卡片的 来交换刘伟全部卡片的。
如果第一次交换后张强剩下945张，第二次交换后刘伟剩220张，问：原来两人各有卡片多少张？12、甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，这时甲、乙的钱数均为480元，则原来＿＿＿＿比＿＿＿＿的钱多，多＿＿＿＿元13、一满杯水溶有10克糖，摇匀后喝去；添入6克糖，加满水摇匀，再喝去；再添入6克糖，加满水摇匀，再喝去问：此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？14、甲、乙、丙三个盒子中各有一些小球，如果从甲盒中取放入乙盒中，再取出乙盒中现有小球个数的放入丙盒，最后取出丙盒中现有的小球个数的放入甲盒，这时三个盒中的小球都是18个问：原来甲、乙、丙盒中各有小球多少个？15、海滩上有堆苹果供5只猴子享用第一只猴子把苹果平均分成4堆，还剩下一个，它把剩下的一个扔到海里，自己拿四堆中的一堆离去；第二只猴子来了，它又把剩下的苹果平均分成4堆，又多了一个，它又扔掉，拿一堆离去；第三，第四，第五只猴子来了，也都如此行事问：原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？。