第1章 二次函数 复习数学二次函数1本章主要知识内容二次函数1.1二次函数的概念1.2二次函数的图象1.3二次函数的性质1.4二次函数的应用数学二次函数21.1 二次函数1.概念：形如yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）的函数叫做二次函数，其中a称二次项系数，b称一次项系数，c称常数项.特别注意：二次项系数a不能为0.2.二次函数的表达式和自变量的取值范围(2)根据实际问题列出二次函数的关系式，但要注意考虑自变量的取值范围，自变量的取值范围应使实际问题有意义.(1)会由x、y的3组对应值求出二次函数的表达式.数学二次函数31.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ） A.y3x1 B.yax2+bx+c C.s2t22t+1 D.yx2+C2.已知函数y(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（ ） A.m0 B.m1 C.m0，且m1 D.m1C3.矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x0），面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成（ ） A.yx2 B.y(12x)x C. y12x2 D.y2(12x)B数学二次函数41.2二次函数的图象1.画二次函数图象的一般步骤：列表：列出自变量与函数的对应值；描点：建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；连线：用平滑曲线顺次连结各点.2.二次函数的图象(1)二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是一条关于直线 对称的抛物线，抛物线与对称轴的交点是抛物线的顶点.数学二次函数5(2)不同形式的二次函数图象y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k数学二次函数6(3)二次函数图象的平移y=ax2向上(或向下)平移 单位长度y=ax2+ky=ax2向左(或向右)y=a(x-h)2平移 单位长度y=ax2再向上(或向下)平移 单位长度y=a(x-h)2+k先向左(或向右)平移 单位长度数学二次函数71.将抛物线y-x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（ ） A.yx2+2 B.y(x+2)2 C.y(x1)2 D.yx22A2.将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x+3)2的图象，平移的方法是（ ） A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位C3.将抛物线y(x-1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A.y(x-1)2+4 B. y(x-4)2+4 C.y(x+2)2+6 D.y(x-4)2+6B数学二次函数8(5)抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴、顶点坐标通过配方法将y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k).直接用公式法：对称轴为直线顶点坐标为(4)抛物线yax2+bx+c（a0）的开口方向当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.数学二次函数91.已知二次函数ya(x-1)2-c的图象如图所示，则一次函数yax+c的大致图象可能是（ ）A.B.C.D.A2.把二次函数y-2x2-4x+10，化成ya(x-h)2+k的形式是_ y=-2(x+1)2+123.抛物线y-x2+4x-3 的对称轴是直线_，顶点坐标为_.(2，1)x=2数学二次函数10(6)二次函数yax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下，a的绝对值决定着抛物线的形状、大小，当a的绝对值相等时，抛物线的形状、大小相同；当a的绝对值越大时，抛物线的开口越小.a、b符号决定着抛物线的对称轴位置a、b同号对称轴在y轴左侧a、b异号对称轴在y轴右侧b0对称轴是y轴数学二次函数11c的符号决定着抛物线与y轴的交点位置c0与y轴交点在x轴的上方c0c0与y轴交点在x轴的下方抛物线必经过坐标原点已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，下列结论： abc0；2a+b0；a-b+c0；b2-4ac0.其中正确的是（ ）A. B.只有 C. D.D数学二次函数121.3二次函数的性质1.二次函数yax2+bx+c（a0）的增减性(1)在a0，抛物线开口向上的情况x随x的增大而增大x随x的增大而减小(2)在a0，抛物线开口向下的情况x随x的增大而减小x随x的增大而增大说明：二次函数的增减性可结合二次函数的大致图象进行分析.数学二次函数131.下列函数：y-3x2；y2x2-1；y(x-2)2；y=-x2+2x+3.当x0时，其中y随x的增大而增大的函数有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 C3.已知二次函数yx2+(m-1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A.m1 B.m3 C.m1 D.m12.在二次函数y- (x-2)2+3的图象上有两点(-1，y1),(1，y2)，则y1与y2的大小关系是（ ）A. y1y2 B. y1y2 C. y1y2 D.不能确定AD数学二次函数14通过配方法将y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；若a0，则函数y有最小值，当x=h时，y最小值=k； 若a0，则函数y有最大值，当x=h时，y最大值=k . 直接用公式法：若a0，则函数y有最小值，当 时，若a0，则函数y有最大值，当 时，2.二次函数的最大(小)值数学二次函数153.二次函数与一元二次方程的关系b24ac的符号决定着抛物线与x轴的交点情况b24ac0与x轴有两个交点b24ac0与x轴有一个交点b24ac0与x轴没有交点对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，如果令y0，则ax2+bx+c0抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c0的两个根；一元二次方程ax2+bx+c0的根即为抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，数学二次函数161.已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A.图象关于直线x1对称B.函数y=ax2+bx+c（a0）的最小值是-4C.抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的横坐标分别是-1，3D.当x1时，y随x的增大而增大D3.已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且a2+b2=17，则k的值为_.-6或22.已知函数y(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A.k4 B.k4 C.k4且k3 D.k4且k3B数学二次函数174.二次函数表达式的求法三种形式一般式：yax2+bx+c(a0)顶点式：ya(x-h)2+k(a0)两根式：ya(x-x1)(x-x2) (a0)1.已知二次函数的图象经过点（-1，5），（0，-4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（ ）A.y-6x2+3x+4 B.y-2x2+3x-4 C.yx2+2x-4 D.y2x2+3x-4D数学二次函数183.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）A.y (x+6)2 B.y (x-6)2C.y- (x+6)2 D.y- (x-6)2A.y(x2)21 B.y (x2)21C.y (x2)21 D.y(x2)214.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x1对称，且AB6，顶点在函数y2x的图象上，则这个二次函数的表达式为_. C2.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y= x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ） D数学二次函数191.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）1.4二次函数的应用二次函数在实际问题中的应用A.5元 B.10元 C.15元 D.20元2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1x2+10 x，y22x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ） A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元AD数学二次函数203.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykx+b，且x65时，y55；x75时，y45；(3)若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(1)求一次函数的解析式；数学二次函数21解:(1)把x65，y55；x75，y45解得：所求一次函数的解析式为yx+120，(2)W(x60)(x+120) x2+180 x7200 (x90)2+900，代入ykx+b得：数学二次函数22由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60 x87，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大，又60 x87，当x87时，W(8790)2+900891，(3)由W500，得500 x2+180 x7200，整理得：x2180 x+77000，解得：x170，x2110，所以，销售单价x的范围是70 x87.数学二次函数23二次函数在几何问题中的应用1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；数学二次函数24(1)三块矩形区域的面积相等， 解：矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，AE2BE，设BEa，则AE2a， 8a+2x80，a x+10，2a x+20，y( x+20)x+(- x+10)x x2+30 x，x40，则y x2+30 x（0 x40）；a x+100，(2)y x2+30 x (x 20)2+300（0 x40），且二次项系数为 0，当x20时，y有最大值，最大值为300平方米数学二次函数253.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx1与抛物线C1：yx22x1相交于A、C两点，过点A作ABx轴交抛物线于点B.（3）若抛物线C2：yax2（a0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.（2）求ABC的面积；（1）求点A、C的坐标；数学二次函数26SABC ABCD 436；(1)由解：得，点A、C的坐标分别为（3，2），（0，1）；(2)由题意知：点A与B关于抛物线C1的对称轴对称，抛物线C1的对称轴为x1，且A（3，2），B（1，2），AB4，设直线AB与y轴交于点D，则CD1+23，数学二次函数27(3)如图，a的取值范围为 a2.把B（1，2）代入yax2得：a2，把A（3，2）代入yax2得：a ，当C2过点A点，B点临界点时，数学二次函数28数学二次函数29。