第三节 数字积分法插补一、数字积分法的基本原理数字积分法又称数字微分分析法（Digital Differential Analyzer）这种插补方法可以实现一次、二次、甚至高次曲线的插补，也可以实现多坐标联动控制只要输入不多的几个数据，就能加工出圆弧等形状较为复杂的轮廓曲线作直线插补时，脉冲分配也较均匀从几何概念上来说，函数的积分运算就是求函数曲线所包围的面积S（图3-10所示）图3-10 函数的积分S= （3-9）此面积可以看作是许多长方形小面积之和，长方形的宽为自变量，高为纵坐标则 S== （3-10）这种近似积分法称为矩形积分法，该公式又称为矩形公式数学运算时，如果取=1，即一个脉冲当量，可以简化为：S= （3-11）由此，函数的积分运算变成了变量求和运算如果所选取的脉冲当量足够小，则用求和运算来代替积分运算所引起的误差一般不会超过容许的数值二、直线插补1．直线插补原理 图3-11 直线插补设平面内直线，起点（0，0），终点为（，），如图3-11所示。
若以匀速沿位移，则可分为动点在轴和轴方向的两个速度、，根据前述积分原理计算公式，在轴和轴方向上微小位移增量、应为 (3-12)对于直线函数来说，、，和满足下式从而有 (3-13)其中：因此坐标轴的位移增量为 (3-14)各坐标轴的位移量为 (3-15)所以，动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔，分别以增量、同时累加的过程据此可以作出直线插补原理图，如图3-12所示图3-12 平面直线插补原理图平面直线插补器由两个数字积分器组成，每个坐标的积分器由累加器和被积函数寄存器组成终点坐标值存在被积函数寄存器中，相当于插补控制脉冲源发出的控制信号每发生一个插补迭代脉冲（即来一个），使被积函数和向各自的累加器里累加一次，累加的结果有无溢出脉冲（或），取决于累加器的容量和或的大小。
假设经过n次累加后（取=1），和分别（或同时）到达终点（，），则下式成立 (3-16)由此得到n=1，即n＝1／上式表明比例常数和累加（迭代）次数n的关系，由于n必须是整数，所以一定是小数的选择主要考虑每次增量或不大于1，以保证坐标轴上每次分配进给脉冲不超过一个，也就是说，要使下式成立 (3-17)若取寄存器位数为N位，则及的最大寄存器容量为2N-1，故有 (3-18)所以 一般取 可满足 (3-19)因此，累加次数n为因为=1/2N，对于一个二进制数来说，使（或）等于（或）乘以1/2N 是很容易实现的，即（或）数字本身不变，只要把小数点左移N位即可所以一个N 位的寄存器存放（或）和存放（或）的数字是相同的，只是后者的小数点出现在最高位数N前面，其他没有差异直线插补的终点判别较简单，因为直线程序段需要进行2N次累加运算，进行2N次累加后就一定到达终点，故可由一个与积分器中寄存器容量相同的终点计数器实现，其初值为0。
每累加一次，加1，当累加2N次后，产生溢出，使=0，完成插补2．直线插补软件流程 用法进行插补时，和两坐标可同时进给，即可同时送出、脉冲，同时每累加一次，要进行一次终点判断软件流程图见图3-13，其中、为积分函数寄存器，、为余数寄存器，为终点计数器图3-13 直线插补软件流程3．直线插补举例例3-3 设有一直线，起点在坐标原点，终点的坐标为（4，6）试用法直线插补此直线解：=4，=6，选寄存器位数N＝3，则累加次数n=23＝8，运算过程如表3-5所示，插补轨迹如图3-14所示图3-14 直线插补轨迹 表3-5 直线插补运算过程累加次数n积分器+溢出积分器+溢出终点判断00000010+4=400+6=60124+4=8+016+6=8+41230+4=404+6=8+21344+4=8+012+6=8+01450+4=400+6=60564+4=8+016+6=8+41670+4=404+6=8+21784+4=8+012+6=8+018三、圆弧插补1．圆弧插补原理从上面的叙述可知，数字积分直线插补的物理意义是使动点沿速度矢量的方向前进，这同样适合于圆弧插补。
图3-15 第一象限逆圆DDA插补以第一象限为例，设圆弧，半径为，起点（, ），终点（,），（,）为圆弧上的任意动点，动点移动速度为，分速度为和，如图3-15所示圆弧方程为 (3-20)动点的分速度为 （3-21）在单位时间内，、位移增量方程为 （3-22）当恒定不变时，则有 式中，为比例常数上式可写为 （3-23）与直线插补一样，取累加器容量为2N, =1/2N ，N为累加器、寄存器的位数，则各坐标的位移量为 （3-24）由此可构成图3-16所示的圆弧插补原理框图图3-16 圆弧插补原理框图圆弧插补与直线插补的主要区别有两点：一是坐标值、存入被积函数器、的对应关系与直线不同，即不是存入而是存入、不是存入而是存入；二是、寄存器中寄存的数值与直线插补有本质的区别：直线插补时，（或）寄存的是终点坐标（或），是常数，而在圆弧插补时寄存的是动点坐标，是变量。
因此在插补过程中，必须根据动点位置的变化来改变和中的内容在起点时，和分别寄存起点坐标、对于第一象限逆圆来说，在插补过程中，每溢出一个脉冲，应该加1；每溢出一个脉冲，应减1对于其他各种情况的圆弧插补，和是加1还是减1，取决于动点坐标所在象限及圆弧走向 圆弧插补时，由于、方向到达终点的时间不同，需对、两个坐标分别进行终点判断实现这一点可利用两个终点计数器和，把、坐标所需输出的脉冲数|-|、|-|分别存入这两个计数器中，或积分累加器每输出一个脉冲，相应的减法计数器减1，当某一个坐标的计数器为零时，说明该坐标已到达终点，停止该坐标的累加运算当两个计数器均为零时，圆弧插补结束2．圆弧插补举例 例3-4 设有第一象限逆圆弧，起点（5，0），终点（0，5），设寄存器位数N为3，试用法插补此圆弧 解：=0，＝5，寄存器容量为：2N=23＝8运算过程见表3-6，插补轨迹见图3-17表3-6 圆弧插补插补计算举例累加器n积分器积分器0000550051000555052000558+2143110557044120558+4135240558+112637055602738+21458+311846044701948+21348+3101057033停001158+41231258+111213560111458+3101155停000图3-17 圆弧插补轨迹3．不同象限的脉冲分配不同象限的顺圆、逆圆的插补运算过程与原理框图与第一象限逆圆基本一致。
其不同点在于，控制各坐标轴的和的进给脉冲分配方向不同，以及修改和内容时，是“+1”还是“-1”要由和坐标的增减而定各种情况下的脉冲分配方向及±1修正方式如表3-7所示表3-7 DDA圆弧插补时不同象限的脉冲分配及坐标修正SR1SR2SR3SR4NR1NR2NR3NR4-1+1-1+1+1-1+1-1+1-1+1-1-1+1-1+1++----++-++-+--+4．改进插补质量的措施使用法插补时，其插补进给速度不仅与迭代频率（即脉冲源频率）成正比，而且还与余数寄存器的容量成反比，与直线段的长度（或圆弧半径）成正比它们之间有下述关系成立： （3-25）式中 ——插补进给速度； ——系统脉冲当量； ——直线段的长度； ——寄存器的容量； ——迭代频率圆弧插补时，式中应改为圆弧半径显然，即使给定同样大小的速度指令，直线段的长度不同，其进给速度亦不同（假设和为固定），因此难以实现编程进给速度，必须设法加以改善常用的改善方法是左移规格化和进给速率编程（FRN）1）进给速度的均匀化措施——左移规格化直线插补时，若寄存器中的数其最高位为“1”时，该数称为规格化数；反之，若最高位数为“0”，则该数为非规格化数。
显然，规格化数经过两次累加后必有一次溢出；而非规格化数必须作两次以上的累加后才会有溢出直线插补的左移规格化方法是：将被积函数寄存器、中的数同时左移（最低有效位输入零），并记下左移位数，直到或 中的一个数是规格化数为止直线插补经过左移规格化处理后，、两方向脉冲分配速度扩大同样倍数（即左移位数），而两者数值之比不变，所以被插补直线的斜率也不变因为规格化后，每累加运算两次必有一次溢出，溢出速度不受被积函数的大小影响，较均匀，所以加工的效率和质量都大为提高 。