电路分析中三要素法的应用

§8－4 三要素法本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要 素法图8－19 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路一、三要素法仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后， 可以得到图8-19(a)和(b)所示的等效电路图(a)电路的微分方程和初始条件为 图(b)电路的微分方程和初始条件为 上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程其通解为 如果>0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，则有 由初始条件f (0+)，可以求得 于是得到全响应的一般表达式 因而得到 这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表达式 (可以用叠加定理证明) 其波形曲线如图8－20所示由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值f (0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f ()，响应变化的快慢取决于电路的时间常数 图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三个要素。

只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式(8-25）可以写出响应的表达式以及画出图8-20那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法图8-22用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是:1. 初始值f (0+)的计算(1) 根据t0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()3. 时间常数 的计算先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数4. 将f (0+)，f ()和  代入下式得到响应的一般表达式和画出图8－20那样的波形曲线图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 例8-7 图8-21(a)所示电路原处于稳定状态t=0时开关闭合，求t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图 图8-21由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故 解：1. 计算初始值uC(0+)开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，此时电容电压与电阻电压相同 图8-22图8-212. 计算稳态值uC()开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得 时间常数为 图8-213.计算时间常数计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 ab4. 将uC(0+)=8V, uC()=7V和=0.1s代入式(8－25)得到响应的一般表达式 求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变， i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间 范围是t>0，而不是t0。

电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得 例8-8 图8-22示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0时开关S由1端接至2端，求t>0时的电感电流iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t) 图8-22解：用三要素法计算电感电流1. 计算电感电流的初始值iL(0+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为开关转换时，电感电压有界电感电流不能跃变，即2. 计算电感电流的稳态值iL()开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即3. 计算时间常数与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)将iL(0+)=10mA,iL()=0和=110-7s代入式(8－25）得到电感电流的表达式然后根据KCL，KVL和VCR求出其它电压电流 二、包含开关序列的直流一阶电路 本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。

例8-9 图8-23(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1试求电感电流iL(t)，并画波形图 图8-23解：1. 在0t0.1s时间范围内响应的计算S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应可以用三要素法求解2. 在t0.1s时间范围内响应的计算此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值根据三要素公式（8－25）得到 在此时间范围内电路的时间常数为 电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示在t=0时，它从 零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值 0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到零 图8-23图8－24 利用开关的转换产生分段恒定信号三、分段恒定信号激励的一阶电路通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电 源例如图(a)所示包含开关的电路，其输出电压u(t)等效于图(b)所示的一个时变电压源，其电压波形如图8－24(c)所示。

假如t=t0时刻开关再由2端转换到1端，使其输出电压为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时变电压源 例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的 RC串联电路，用三要素法容易画出iC(t)、uC(t)的波形，如 图(c)和(d)所示注意到电容电压的波形是连续的，而电容 电流波形在t=0时是不连续的 图8-25 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应 例8-10 电路如图8-26(a)所示，独立电流源的波形如图(b)所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线 解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求电感电流的响应1. t0 , iS(t)=0，由此得到 图8-26(2) 计算稳态值iL()(3) 计算时间常数  (4) 利用三要素公式得到 2. 0t1ms , iS(t)=10mA(1) 计算初始值iL(0+)3. 1mst< , iS(t)=0 (2) 计算稳态值iL()(3) 时间常数相同，即 (4) 根据三要素公式得到 (1) 计算初始值iL(1ms+)名 称时间 名 称时间1电容器的放电过程2:052电容器放电的波形2:073电容器的充电过程2:504电容器充电的波形2:415电容器充放电过程2:486直流电压源对电容器充电1:517RC和RL电路的响应3:068RC分压电路的响应2:149电路实验分析2:47 根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。