4 匀变速直线运动的速度与位移的关系[学科素养与目标要求] 科学思维：1.会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式v2－v02＝2ax进行分析和计算.3.掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例式，并会进行有关计算．速度与位移的关系式1．公式：v2－v02＝2ax.2．推导：速度公式v＝v0＋at.位移公式x＝v0t＋at2.由以上两式可得：v2－v02＝2ax.判断下列说法的正误．(1)公式v2－v02＝2ax适用于所有的直线运动．( )(2)做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越大．( )(3)确定公式v2－v02＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．( √ )(4)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.( )一、关系式v2－v02＝2ax的理解和应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？答案 解析 由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝.所以飞机起飞所通过的位移为x＝at2＝. 对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又运动到计时起点另一侧的位移．(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又反向运动的速度．注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．例1 长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：(1)列车过隧道时的加速度是多大？(2)通过隧道所用的时间是多少？答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，v＝12 m/s，由v2－v02＝2ax得，加速度a＝＝0.02 m/s2.(2)由v＝v0＋at得所用时间为t＝＝ s＝100 s.针对训练 (2018哈师大附中高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s增加到30 m/s时的位移为x，则当速度由30 m/s增加到50 m/s时，它的位移是( )A．x B．1.5x C．2x D．2.5x答案 C解析 根据v2－v02＝2ax，速度由10 m/s增加到30 m/s时，(30 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax；速度由30 m/s增加到50 m/s时，(50 m/s)2－(30 m/s)2＝2ax′.联立解得x′＝2x，选项C正确．例2 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：(1)火车的加速度大小；(2)火车中点经过此路标时的速度大小；(3)整列火车通过此路标所用的时间．答案 (1) (2) (3)解析 (1)由匀变速直线运动的规律得v22－v12＝2al，即a＝.(2)设火车中点经过此路标时速度为，则2－v12＝2a解得＝.(3)火车的平均速度＝故所用时间t＝＝.1．注意：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度不同，匀变速直线运动位置中点的瞬时速度＝ ，时间中点的瞬时速度＝.2．可以证明不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．2．按位移等分(设相等的位移为x)，则：(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．例3 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：(1)第6 s末的速度大小；(2)第1 s内的位移和前6 s内的位移；(3)第6 s内的位移大小．答案 (1)6 m/s (2)0.5 m 18 m (3)5.5 m解析 (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s(2)由v4＝at4得a＝＝1 m/s2.所以第1 s内的位移x1＝at12＝0.5 m第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m(3)第1 s内与第6 s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(26－1)＝1∶11故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.例4 (多选)(2019广安高一上学期期末)水球可以挡住高速运动的子弹．中央电视台《国家地理频道》实验证实：如图1所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)( )图1A．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1B．子弹在每个水球中运动的时间之比t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝∶∶1答案 BD解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(－1)∶(－)．则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故B正确，A错误． 1．(速度与位移的关系)汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线．由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度．已知汽车刹车做减速运动的加速度大小为8.0 m/s2，测得刹车线长25 m．汽车在刹车前的瞬间的速度大小为( )A．10 m/s B．20 m/sC．30 m/s D．40 m/s答案 B解析 由匀变速直线运动速度与位移的关系式v2－v02＝2ax得到汽车在刹车前的瞬间的速度大小v0＝＝ m/s＝20 m/s，故A、C、D错误，B正确．2．(速度与位移的关系)如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为( )图2A．a1＝a2 B．a1＝2a2C．a1＝a2 D．a1＝4a2答案 B解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2x2，联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.3.(初速度为零的匀变速直线运动的比例关系)(多选)(2019扬州中学月考)如图3所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )图3A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶∶C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2D．下滑全程的平均速度＝vB答案 ACD解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段时间之比为1∶(－1)∶(－)，故B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确．4．(速度与位移的关系)(2019辉县一中段考)“神舟五号”载人飞船的返回舱距地面10 km时开始启动降落伞装置，速度减至10 m/s，并以这个速度在大气中匀速降落，在距地面1.2 m时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速．设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时速度恰好为2 m/s，求最后减速阶段的加速度．答案 见解析解析 在匀减速阶段，初速度v0＝10 m/s，末速度vt＝2 m/s，位移x＝1.2 m，根据vt2－v02＝2ax得：a＝＝ m/s2＝－40 m/s2负号表示加速度方向竖直向上． 一、选择题考点一 速度与位移关系的理解与应用1.如图1所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为( )图1A．10 m/s B．20 m/sC．30 m/s D．40 m/s答案 D解析 根据公式v2－v02＝2ax，解得v0＝＝ m/s＝40 m/s，D正确．2．如图2所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )图2A．8 m/s B．12 m/sC．10 m/s D．14 m/s答案 C解析 由v2－v02＝2ax得v＝＝ m/s＝10 m/s，C正确．3．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( )A．1∶2 B．1∶4C．4∶1 D．2∶1答案 B解析 小车的末速度为0时，运动的位移最大，由v2－v02＝2ax得＝＝，选项B正确．4．如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )图3A.x B.x C．2x D．3x答案 B解析 由v2－v02＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝x，故B正确．5．物体的初速度是v0，以不变的加速度a做直线运动，如果要使速度增加到初速度的n倍，那么经过的位移是( )A.(n2－1) B.(n－1)C.n2 D.(n－1)2答案 A解析 由公式v2－v02＝2ax知，(nv0)2－v。
