一、换面法的基本概念一、换面法的基本概念变变换换投投影影面面即即“换换面面法法”根根据据正正投投影影的的“真真实实性性” ，，当当空空间间的的直直线线或或平平面面与与投投影影面面平平行行时时，，其其投投影影能能够够反反映映直直线线的的实实长长和和平平面面的的真真实实的的形形状状根根据据正正投投影影的的“积积聚聚性性” ，，当当空空间间的的直直线线或或平平面面与与投投影影面面垂垂直直时时，，其其投投影影积聚成点或直线积聚成点或直线变变换换投投影影面面的的基基本本原原理理是是：：设设置置新新的的投投影影面面来来代代替替原原来来的的某某一一投投影影面面，，并并使使新新投投影影面面与与空空间间几几何何元元素素处处于于平平行行或或垂垂直直的的特特殊殊位位置置且且使使新新投投影影面面与原未被替换的投影面垂直与原未被替换的投影面垂直§5 - 4 换面法换面法1;. 1、、为为求求AB实实长长可可设设一一V1投投影影面面，，V1面面与与AB平平行行并并垂垂直直于于H投投影影面面将将AB线线向向V1面面作作正正投投影影，，则则AB线线在在V1面面上上的的投投影影便便可可反反映映实实长2、、直直线线的的新新投投影影还还可可反反映映α角角的实际大小。
的实际大小§5 - 4 换面法换面法换面法应用一：换面法应用一： 在在V、、H两投影面体系中，两投影面体系中，AB为一般为一般位置直线，其两面投影均不能反映实长位置直线，其两面投影均不能反映实长2;. 图图中中△△ABCABC平平面面为为一一铅铅垂垂面面，，其其水水平平投投影影积积聚聚为为一一直直线线，，正正面投影为缩小的类似形面投影为缩小的类似形为为求求得得△△ABCABC平平面面的的真真实实形形状状，，可可设设一一新新投投影影面面V1V1，，V1V1面面与与ABCABC平平面面平平行行并并垂垂直直于于H H投投影影面换面法应用二：换面法应用二：3;. 1、旧投影面：指图中的、旧投影面：指图中的V、、H面；面；2、、旧旧投投影影：：指指几几何何元元素素在在V、、H面面上上的投影；的投影；3、被替换的投影面：图中的新面、被替换的投影面：图中的新面V1与与H面垂直，替换了旧投影面面垂直，替换了旧投影面V，因此，因此V面为被替换的投影面面为被替换的投影面,V面上的投影称为面上的投影称为被替换的投影；被替换的投影；二、换面法的术语：二、换面法的术语： 4、不变的投影面及不变投影：指图中的、不变的投影面及不变投影：指图中的H面以及几何要面以及几何要 素在素在H面上的投影。
面上的投影4;. 换面法的投影面转换过程如图所示换面法的投影面转换过程如图所示点击演示动画点击演示动画 二、换面法的术语：二、换面法的术语： 5、新投影面：指图中的、新投影面：指图中的V1面，如果需要也可设面，如果需要也可设H1面面 6、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X1 7、新投影：指几何要素在新投影面上的投影、新投影：指几何要素在新投影面上的投影,如如a1'b1'换面法的投影规律：换面法的投影规律：在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵循着正投影的基本规律以及投影面的展开循着正投影的基本规律以及投影面的展开方法V、、H面上的投影；面上的投影；5;. 三、点的投影变换三、点的投影变换1、点的一次变换、点的一次变换V、、H两投影面体系中有一两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一点，现在适当位置设一V1面，面， V1和和H面构成面构成新的两投影面体系新的两投影面体系A点在点在V1面上的正投影记做面上的正投影记做a1'a1'与与a的连线和的连线和O1X1轴的交点记做轴的交点记做ax1。
将将V1与与H面展开 点击演示动画点击演示动画6;. 1、点的一次变换、点的一次变换问题问题1：点的新投影：点的新投影a1′与不变投影与不变投影a的连线的连线—？？ 垂直于新轴垂直于新轴O1X1点的变换规律点的变换规律1））问题问题2：点的新投影：点的新投影a1′到新轴到新轴O1X1（（ax1)的距离的距离—？？ 等于被替换的投影等于被替换的投影a′到旧轴（到旧轴（ax）的距离点的变换规律（点的变换规律2））7;. 根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变换根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变换H1面与变换面与变换V1面的规律是一样的）面的规律是一样的）n 点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；n 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到 旧轴的距离旧轴的距离需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影8;. 1、点的一次变换、点的一次变换作图分析：作图分析：从从图图中中标标注注可可知知变变换换的的是是V1V1投投影影面面，，a a′为为被被替替换换的的投投影影，，a a为为不不变变投投影影。
按按照照点点的的变变换换规规律律即可作出即可作出A A点的新投影点的新投影作图步骤：作图步骤：例：如下图，已知例：如下图，已知A点点的两面投影的两面投影a'、、a，试，试作出给定位置的作出给定位置的A点新点新投影9;. 1、点的一次变换、点的一次变换作图分析：作图分析：变换变换H1H1面与变换面与变换V1V1面的作图分析和作图步骤相同面的作图分析和作图步骤相同本题的投影变换作图为点本题的投影变换作图为点A的两个一次变换的两个一次变换例：已知例：已知A点的两面投影点的两面投影a'、、a，试作出给定位置的，试作出给定位置的A点新投影又：作出点新投影又：作出A点点在在H1面上的投影面上的投影10;. 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的变换方法称为二次变换变换方法称为二次变换二二次次变变换换实实际际上上就就是是连连续续作作出出的的两两个个一一次次变变换换其其变变换换的的原原则则和和变变换换的的规规律与一次变换方法完全相同律与一次变换方法完全相同不不过过在在作作二二次次变变换换时时要要正正确确判判断断出出不不变变投投影影、、被被替替换换的的投投影影、、新新轴轴和和旧旧轴轴，，准确定出点的新投影的位置。
准确定出点的新投影的位置图图中中先先变变换换的的是是V1面面，，接接着着作作第第二二次次变变换换此此时时的的H1面面与与V1面面垂垂直直，，被被替替换换是是H面面，，而而V1面面为为不不变变投投影影面面O2X2为为新新的的投投影影轴轴，，O1X1则成了旧投影轴则成了旧投影轴点击演示动画点击演示动画2、点的二次变换、点的二次变换11;. 例例：：如如右右图图，，作作出出A点点的的二二次次变变换换投投影图 作作图图分分析析：：两两次次变变换换的的规规律律是是一一样样的的，，要要注注意意的的是是在在作作第第二二次次变变换换时时，，定定准准点点的的新新投影的位置投影的位置作图过程如图所示作图过程如图所示12;. 四、直线的投影变换四、直线的投影变换直线的变换主要解决以下两个方面问题：直线的变换主要解决以下两个方面问题：Ø 求直线的实际长度或倾角求直线的实际长度或倾角Ø 求直线的积聚性投影求直线的积聚性投影 变换直线可归结于变换直线上的两变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图只是要根据解决的实际端点的作图只是要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置问题确定变换的新投影面的位置13;. 1、、将一般位置直线变换为投影面平行线将一般位置直线变换为投影面平行线通通过过一一次次变变换换可可将将一一般般位位置置直直线线变变换换为为投投影影面面平平行行线线，，求求得得直直线线的的实实际际长长度以及直线对投影面的夹角。
度以及直线对投影面的夹角为求得为求得ABAB线的实长，所设置的新投影面线的实长，所设置的新投影面V1V1应与应与ABAB平行从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于ABAB线的水平投影线的水平投影 abab14;. 1、、将一般位置直线变换为投影面平行线将一般位置直线变换为投影面平行线例：求出例：求出AB直线的实长以及对直线的实长以及对H面倾角面倾角α作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于ab的新轴的新轴 O1X1，然后按照点的变换规律作出，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影线的新投影作图步骤如图示：作图步骤如图示：15;. 2、、将将投影面的平行线投影面的平行线变换为投影面变换为投影面垂直垂直线线通通过过一一次次变变换换使使得得直直线线在在新新投投影影面面上上的的投投影影积积聚聚为为一一点点因因此此所所设设置置的的新新投投影影面面应应与与直直线线成成垂垂直例：将例：将AB直线变换为一投影面垂直线直线变换为一投影面垂直线注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。
作图分析：作图分析： 所设的新投影面应垂直于所设的新投影面应垂直于ABAB线的正面投影体现新线的正面投影体现新面位置的新轴面位置的新轴O1X1O1X1应垂直应垂直于于a a′b b′16;. 3、、将一般位置直线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线 要要将将一一般般位位置置直直线线变变换换为为投投影影面面垂垂直直线线则则需需要要作作两两次次换换面面从从下下图图可可看看出出，，第第一一次次换换面面将将直直线线变变换换为为投投影影面面平平行行线线再再将将投投影影面面平平行行线线变变换换成成投投影面垂直线，使变换后直线的新投影积聚为一点影面垂直线，使变换后直线的新投影积聚为一点 例：试将例：试将AB直线变换为一投影面垂直线直线变换为一投影面垂直线作图分析：作图分析： 第一次设置一与第一次设置一与 AB平行的平行的V1面，将面，将AB直线变换为投影面平行线再设置垂直线变换为投影面平行线再设置垂直于直于AB线的线的H1面，则面，则AB的新投影积聚的新投影积聚为一点17;. 3、、将一般位置直线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线作图过程如图示：作图过程如图示：1）作新轴）作新轴O1平行于平行于ab(a′b′也也 可可)，作出第一次变换的新投影，作出第一次变换的新投影 a1′b1′；；2）作新轴）作新轴O2垂直于垂直于a1′b1′，按，按 投影规律作出第二次变换的新投影规律作出第二次变换的新 投影投影a2b2。
18;. 五、平面的投影变换五、平面的投影变换通过平面的变换主要解决两方面的问题：通过平面的变换主要解决两方面的问题：u 将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状u 将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角点击演示动画点击演示动画 变换平面的方法同变换点、直线相同，只变换平面的方法同变换点、直线相同，只是由于要找的点比较多，在作图时更要细心是由于要找的点比较多，在作图时更要细心19;. 五、平面的投影变换五、平面的投影变换1、、将投影面垂直面变换为投影面平行面将投影面垂直面变换为投影面平行面作图分析：作图分析： 新投影面应平行于空间平面，所新投影面应平行于空间平面，所以新投影轴就应平行于空间平面的以新投影轴就应平行于空间平面的积聚性投影即积聚性投影即O1X1∥ ∥abc 投影面的空间转换关系如图所示投影面的空间转换关系如图所示20;. 例：用换面法求出例：用换面法求出△△ABC平面的实际形状平面的实际形状 作图分析：作图分析：由于由于△△ABC平面为一铅垂面平面为一铅垂面 ，则，则O1X1轴应平行于平面的积聚性投影。
轴应平行于平面的积聚性投影作作图图过过程程如如图图所所示：示：21;. 2 2、将一般位置平面变换为投影面垂直面、将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：l 在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水 平线）平线）l 设置与投影面平行线成垂直的新设置与投影面平行线成垂直的新 投影面（如下图中设置的投影面（如下图中设置的V1面）面）作图分析：作图分析： 在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置要注意：要注意：新投影面垂直于空间平面内的一条线，也就新投影面垂直于空间平面内的一条线，也就垂直于空间平面垂直于空间平面22;. 作图步骤如图示：作图步骤如图示：例：将例：将△△ABCABC平面变换为投影面垂直面平面变换为投影面垂直面23;. 3 3、将一般位置平面变换为投影面平行面、将一般位置平面变换为投影面平行面上上述述的的分分析析步步骤骤实实际际上上就就是是将将前前面面所所介介绍绍的的两两种种变变换换平平面面的的方方法法综综合合加以应用。
加以应用 作图分析：作图分析： 将一般位置平面变换成投影面平行面要作两次变换即先变将一般位置平面变换成投影面平行面要作两次变换即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影产生积聚，再将其变换为投影面平行换成投影面垂直面，使平面的新投影产生积聚，再将其变换为投影面平行面例：求出上一例题中的例：求出上一例题中的△△ABC平平面的实形面的实形 前一例的作图已将平面变换为投影前一例的作图已将平面变换为投影面垂直面，现只需接着作后一次变换面垂直面，现只需接着作后一次变换24;. 3 3、将一般位置平面变换为投影面平行面、将一般位置平面变换为投影面平行面作图步骤如下：作图步骤如下： 前前一例的作图已将平面变换一例的作图已将平面变换为投影面垂直面，现只需为投影面垂直面，现只需接着作后一次变换接着作后一次变换25;. 。