第第4 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理普通高等教育普通高等教育“ “十一五十一五” ”国家级规划教材国家级规划教材机械工业出版社1自动控制原理n4.1 概述 n4.2 根轨迹的概念n4.3 根轨迹的绘制n4.4 广义根轨迹的绘制 n4.5 控制系统的根轨迹分析 第4章 根轨迹分析法2自动控制原理n稳定性：特征根在S平面的左半平面n动态指标：三个等线 根轨迹概念 做根轨迹，8条规则 参变量的根轨迹 改变开环零、极点对根轨迹的影响3自动控制原理4.2 根轨迹的概念 系统的开环传递函数 系统闭环传递函数闭环特征方程闭环特征根（1）解析法绘制根轨迹令K从0到变化，则闭环特征根在复平面上描绘出若干曲线（根轨迹）4自动控制原理（2）从根轨迹图分析闭环系统各种性能n分析稳定性：在0K范围内，系统是稳定的n分析动态性能：当0K0.5时，系统是欠阻尼的 若已知K=1，则闭环极点为-1j，参数=0.707，=0.414，系统的瞬态响应指标超调量%= 4.3%，调节时间ts3秒 当K继续增大时，其超调量%将增大，而调节时间基本不变n分析稳态性能：系统是型的，阶跃函数作用下的稳态误差为零。
4.2 根轨迹的概念（续）5自动控制原理 （3）根轨迹方程闭环特征方程： 1+G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1 通常系统开环传递函数G(s)H(s)等于系统各环节传递函数之积，即 或幅值方程： ， 为根轨迹增益相角方程：根轨迹方程4.2 根轨迹的概念（续）6自动控制原理4.3 根轨迹的绘制4.3.1 绘制根轨迹的基本规则（1）根轨轨迹的方向、起点和终终点 根据根轨迹定义，根轨迹起始于K*=0，终止于K *由幅值条件得当K*=0时， s-pj (j=1，2，n)为系统的开环极点；当K*时，s-zi (i=1，2，m)为系统的开环零点结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处7自动控制原理根轨迹的分支数、连续性和对称性（2）根轨迹的分支数 每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支，因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同 结论结论 ：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，也即开环零点数m和开环极点数n中的较大者3）根轨迹的连续性和对称性 K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限小增量相对应，即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小的位移。
当K*从零到无穷大连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续的 特征根可以是实数根或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴 结论：根轨迹是连续的，且以实轴为对称的曲线 8自动控制原理根轨迹在实轴上的分布、渐近线 （4）实轴上根轨迹的分布 若点s0右边零、极点个数之和为奇 数，则s0点所段是根轨迹一部分； 若点s0右边零、极点个数之和为偶 数，则s0点所在的线段不是根轨迹 结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边开环零、极点的个 数之和为奇数5）根轨迹的渐近线 结论：如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则当根迹增益K*时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m条这些渐近线与实轴上的交点坐标为 与实轴正方向的夹角为9自动控制原理根轨迹在实轴上的分布及渐近线举例设系统开环传递数为 根据开环传递函数，得知开环极点数n=3，开环零点数m=0，首先将开环极点0，-1和-2标注在s平面上由规则： 1）根轨迹有三条分支，分别起始于0，-1和-2，且这三条根轨迹都将趋向无穷远处； 2）实轴上根轨迹分布在-以及-2-之间； 3）根轨迹的渐近线共有n -m = 3条，与实轴的交点和夹角计算公式如下：根轨迹在实轴上的分布、渐近线 10自动控制原理根轨迹的分离、会合点、与虚轴的交点（6）根轨迹的分离、会合点分离点：根轨迹分支在实轴上某点相遇又向复平面运动会合点：根轨迹分支从复平面运动到实轴上某点 结论：根轨迹分离点或会合点的坐标，可通过求解方程得到（7）根轨迹与虚轴的交点 与虚轴的交点可利用下面两种方法之一 ：方法一：用s= 代入特征方程求解方法二：根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解结论：根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根迹增益，可以通过用s= 代入系统闭环特征方程求取，也可用劳斯判据列表的方法确定。
或11自动控制原理求根轨迹的分离点、与虚轴的交点举例 在极点0和极点-1之间的根轨迹上一定有分离点存在，令dG(s)H(s)/ds0，整理后求得s1= -0.42（在根轨迹上，是分离点），s2 = -1.58 （不在根轨迹上，舍），所对应K*由幅值条件确定： 用劳斯判据法与虚轴交点：设系统开环传递数为 12自动控制原理(8)根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实 轴之间的夹角入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实 轴之间的夹角结论：开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式 计算 出射角： 入射角：13自动控制原理闭环极点之和、之积特征方程为：闭环极点即特征方程的根，若为-s j ，则有 ，所以结论：当满足(n-m) 2时，闭环极点之和等于开环极点之和 （9）闭环极点之和（10）闭环极点之积n个闭环特征根之积为：若 ，有 结论：若满足(n-m) 2，且有开环零点位于原点时，闭环极点之积等于开环极点之积 若系统满足n-m 2，有：14自动控制原理4.3.2 绘制根轨迹举例 例1 已知系统开环传递函数为 ，绘制 根轨迹解 1）起点在p1= -1，p2= -2处，终点在z1= -3及无穷远处。
2）根轨迹有两条分支，且对称于实轴 3）实轴上的根轨迹分布在-1-2之间和-3-之间 4）因n=2，m=1， 渐近线为整个负实轴，沿实轴趋于- 5）由 ，可解出 s1 = -1.586(分离点),K*= 0.172; s2 = -4.414(会合点),K*= 5.818 绘出根轨迹如图 15自动控制原理证明：根轨迹图是一个圆证 如果用s=a +jb代入特征方程1+G(s)H(s) = 0中，并经整理可得到以下方程式： 显然，这是个圆的方程式，其圆心的坐标为(-3，0)，半径为 推广到一般形式： z1大于p1和p2（即开环零点位于两开环极点之左），则系统根轨迹在复平面上为一个圆，其圆心在-z，半径为： 例1（续） 16自动控制原理 开环传递函数为 ，求该系统的闭环根轨迹例2解 根据根轨迹绘制规则，计算步骤为 1）有四条根轨迹，分别起始于0， -3，-1j；一条根轨迹终止于-2，另三条趋于无穷远处 2）实轴上的根轨迹分布在0-2之间及-3-之间 3）渐近线有3条数，渐近线的倾角为60，-180，渐近线的交点为 4）由于实轴上为零点与极点间的根轨迹，故没有分离点及会合点17自动控制原理 5 ）求根轨迹与虚轴的交点。
令s= 代入特征方程 ，解后得 ，此时K *=7 6）求复数极点的出射角 极点-p2的出射角为-22.6 极点-p3的出射角为+22.6 完整根轨迹如图： 例2（续）18自动控制原理 系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹如图： 例319自动控制原理例4 系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹如图 注意：绘制虚轴附近的根轨迹时，可以忽略远离虚轴的零、极点，进行近似处理，简化计算过程 20自动控制原理4.4 广义根轨迹的绘制 以非开环根迹增益为可变参数的根归机轨迹，或非负反馈系统的根轨迹统称为广义根轨迹 4.4.1 参变量根轨迹的绘制 以非开环根迹增益为可变参数绘制的根轨迹，称作参变量根轨迹，也称为参数根轨迹 参变量根轨迹可以用来分析系统中的各种参数规则：与常规根轨迹绘制方法完全相同关键点：将控制系统的特征方程进行等效变换，求出等效开 环传递函数21自动控制原理 设系统开环传递函数为 ，系统闭环特征方程为 ， 用不含待分析参数的各项除方程两端，得式中的 、 都是复变量s的多项式， 为待分析的参数，与特征方程比较，得等效开环传递函数 4.4.1 参变量根轨迹的绘制22自动控制原理绘制以Kt为参变量的根轨迹 系统开环传递函数为 特征方程为 以特征方程中不含Kt的项除方程式各项，得 所以，等效开环传递函数为23自动控制原理 1）n =2，m =1，根轨迹有两条分支，分别起始于极点 -1+j3和-1-j3，终止于零点及无穷远点。
2）实轴上的根轨迹分布在0-之间 3）求出会合点s1= -3.12（ s2= +3.12舍去），对应幅值为 所以 Kt=0.43 4）复数极点-1+j3的出射角绘制以Kt为参变量的根轨迹（续） 24自动控制原理4.5 控制系统的根轨迹分析 系统开环零、极点的分布 根轨迹图 分析系统的稳定性，闭环极点分布位置 系统性能随之发生变化的规律 25自动控制原理4.5.1 性能指标在s平面上的表示 当0 1时，闭环特征根为（1）相对百分比超调量 是阻尼比 的函 数，且当 越小，百分比超调量%越大 （2）调节时间只取决于特征根的实部 当 wn增加时，调 节时间相应变短；反之，调节时间相应就长如果对 调节时间有限制的话，就要使特征根与虚轴保持一定 的距离3）振荡频率26自动控制原理 s平面上的三种规律 等 线 等时线 等频率线 n在通过原点射线上的特征根，这些特征根都对应于百分比超调量相同的过程； n在垂直于实轴直线上的特征根，它们对应有基本相同的调节时间； n在平行于实轴直线上的特征根，它们对应振荡频率相等的过程 4.5.1 性能指标在s平面上的表示(续)27自动控制原理 增加开环零极点的个数或改变开环零、极点在s平面上的位置，可改变根轨迹的形状，也可影响控制系统的性能 。
1)增加开环零点对根轨迹的影响 考虑渐近线在增加一个开环零点-z0前后的变化 设-z0 = -3、-2和0，原开环传递函数为 无零点 增加-z0 = -3 增加-z0= -2 增加-z0 = 0 使根轨迹向s左半平面弯曲或移动，使系统的稳定性提高4.5.2 开环零极点对根轨迹的影响28自动控制原理例 设原系统的开环传递函数为 ，分析增加一个开环零点-z0 = -4时对根轨迹和系统性能的影响解 增加开环零点后的开环传递函数和根轨迹如下： 原系统根轨迹 增加开环零点后的根轨迹考虑：增加开环零点-z0 = -4对系统性能的影响举例29自动控制原理（2）增加开环极点对根轨迹的影响 考虑渐近线在增加一个开环极点-p0前后的变化： 渐近线的重心将沿实轴向右移动且-p0数值愈大，向右移动的距离也愈大 因此，渐近线将带动根轨迹向右半s平面弯曲或移动，从而可能引起系统性能恶化4.5.2 开环零极点对根轨迹的影响(续)30自动控制原理 考虑如下三阶系统开环传递函数增加一个开环极点 分别取零点-p0 = -4、-1和0， 不增极点 增极点-z0-4 增极点-z0= -1 增极点-z00 增加开环极点，使得根轨迹向右弯曲或移动，相对 稳定性变差。
当极点值愈接近原点，系统的性能变得愈差 4.5.2 开环零极点对根轨迹的影响(续)31自动控制原理。