含绝对值不等式.doc

含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化［解题］解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围令－4=0得=4，令3－=0得=3① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<解不等式组，∴>1② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<解不等式，∴>1综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集由(1)(2)知所求取值范围是≤1解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集解法三： ∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1∴当>1时，|－4|+|3－|<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。

［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法2）有解；解集为空集；这两者互补有解；解集为空集；这两者互补有解；解集为空集；这两者互补有解；解集为空集；这两者互补请你试一试1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范围思维点拨：要使|+1|－|－2|>对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围解法一 根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>成立∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3故当<－3时，原不等式恒成立解法二 令=|+1|－|－2|，则要使|+1|－|－2|>恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可故<－3满足题意O-332．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。

解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即时取等号故a<3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|1 恒有y1数按题意只须a>1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考虑|z-4|+|z-3|1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解a>1即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.当x<3时，得(4-x)+(3-x).有解条件为<3 即a>1当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1当x>4时，得(x-4)+(x-3)4 即a>1以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。