最佳广告费用及其效应摘要：本文从经济经验上着眼，首先用回归建立了基本模型，从预期上 描述了售价变化与预期销售量的关系和广告费变化与销售量增长因子的关系其次从 基本模型出发，我们构 造出预期时间利润最大模型，得到了利润在预 期的条件下获得最大利润116610元时的最佳广告费用33082元和 售价5.9113元一问题的分析与假设（1）销售量的变化虽然是离散的，但对于大量的销售而言，可设销售 量的变化随售价的增加而线性递减2）销售增长因子虽然也是离 散的，但当广告费逐渐增加时，可设销售增长因子也是连续变化的3）要使预期利润达到最大，买进的彩漆应为模型理论上的预期最 大利润时的销售量相等模型的基本假设与符号说明（一）基本假设1.假设彩漆的预期销售量不受市场影响2.彩漆在 预期时间内不变质，并且价格在预期内不波动二）符号说明x： 售价（元）；y：预期销售量（千桶）；£ : x与y的随机变量；y :回归拟合预期销售量（千桶）；y ：预期销售量的均值（千桶）；x :售价的平均值（元）；A 0 : x与y的回归常数；A1 : x与y 的回归系数；k :销售增长因子；m :广告费（万元）；B 0 : k与m的非线 性回归系数；n : k与m的随机变量；Z :预期利润（元）。
B1 : k与m的非线性回归系数；B 2 : k与m的非线性回归常数;三模型的建立（一）售价与预期销售量的模型根据条件（表1）描出散点图，假 设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型y = A0 + A1 x + £假定9组预期值（xi , yi ）, i=1,2,...,9；符合模型□ yi = A0 + A1 xi + s , □ □ i = 1,2,...,9; □ 2 i □ s i 〜(0, o1 ),=1,2,...,9;用OLS法得A 0和A 1的最小而乘估计9"A1 = (xi — x)1 =1 i2 9Z ( xi ― x )( yi ― y )i =1=—0.1948""A0 = y — A1 x = 30.6681利用Matlab解得售价与预期销售量的线性回归方程的模型，并得到线 性回归方程与预期价拟合图1(计算机程序见附录1)y =50.422-5.1333x图1 (二)广告费与销售增长因子的模型根据条件(表2)描出散点图，假设广告费与销售因子为非线性关系，得其基本模型k = B0 m 2 + B1m + B2 + n假定8组预期值(m j , k j ), j = 1,2,...,8 ;符号模型□ k j = B0m j 2 + B1m j + B2 +n , □ □ □ j = 1,2,...,8; □ 2 j □ n j 〜N)，o 2)， = 1,2,...,8; □利用Matlab解得广告费与销售因子的非线性回归方程的模型，并得非 线性回归方程与预期值拟合图2(计算机程序见附录2)k = -0.0426 m 2 + 0.4092 m + 1.0187图2(三)预期利润的最优模型为了最大预期利润，建立预期利润的模型函数； 目标函数 maxZ = k(x - 2)y x 10 3 - m x 10 4□ y = 50.4222 - 5.1333 x, ( 2 < x < 9.8226)限制条件：口 2 口 k = -0.0426 m + 0.4092 m + 1.0187, (0 < m < 7).解目标函数max Z等价与求min (-Z),利用Matlab解得min (-Z)(计算机程序见附录3):min(-Z) = -1.1661 x 10 5 ; x=5.9113; m=3.3082;所以max Z = 1.1661 x 10 5（四）检验1.由Matlab软件得第一个模型的决定系数谓为0.9909，误差较小， 因此适用目标函数max Z; 2.由Matlab软件得第二个模型的决定系 数为0.9970,误差也较小，因此也适用目标函数max乙（五）建议虽 然在预期上，投入33082元的广告费和售价5.9113元，可以达到预 期销售 量20.0777千桶，可以达到最大的预期利润，但市场存在一定 风险，每一种产品都有其生命周期，即每种产品都会有一个销售量从 增长到降低的过程。
李经理买 进彩漆时，应考虑缓冲库存，即为了预 防未来不确定因素（供应和需求得变化）起缓冲作用而保持的额外库 存确定适当的安全库存水平涉及到在安全库存引起的成本增加与不 能满足需求而引起的缺货成本之间的平衡问题，因此保留一定的库存 可以不致使货品中断造成损失，在买进时应在最佳预期销售量上有一 定的增加，以预防市场风险四模型误差分析文中基础假设合理理论采用已有的数学理论，所建模型理论可靠，模型结 构简单，求解 后三个模型均采用软件，故误差仅由软件和计算机产生，模型具有较好的稳定性模型优缺点及改进方向优点：1误差小，给出的预计比较准确；2适用范围较广，模型对 于其他预计经济优化模型也有一定的适应性；3最终模型由简单的模 型入手，思路清晰缺点：1未能结合市场经济的具体因素给出更 接近事实的模型；2未能考虑库存，在各个预期周期之间有可能断货 造成损失，因此不能预测在下一个周期内是否能同样取的最大利润参考文献张国权2004数学实验（第一版），科学出版社马正飞，殷翔2002 ,数 学计算方法与软件的工程应用,化学工业出版社孙维琦2004生产与 运作管理，机械工业出版社。