《二次函数为什么是中考代数部分最难点》——2015北京中考五大模块深度剖析之二次函数学而思北京中考研究中心专家团顾问：陈金根主编：魏巍刘蕾费新斌讨论：董小磊牛丽娟许秀霞刘鹏农林儒强齐永确高晓雪根据2015年北京教育考试院下发的《北京市高级中等学校招生考试说明一一数学》得知，北京中考对二次函数的考试要求达到最高级别C级要求（Tips： C级要求通常以压轴题形式出现），同学们应当引起重视北京中考每年主要有两道题目考查二次函数的知识（并且其中一道为压轴题目），涉及分值11分左右，约占全卷总分值的 10%,这一比例相当于普通章节的三倍，比重之大，可见一斑那么，北京中考对于二次函数的考查，难度系数到底有多大？考点又有哪些？需要掌握哪些解题方法和技巧？接下来，我们就二次函数在北京中考中的考察情况，为参加中考的同学做出以下3点分享：1、难度分析及考点分析；2、方法技巧提炼、针对最难点给出13个原创的题目进行针对性解决；3、限时巩固练习一、【二次函数为什么是中考代数部分的最难点？】1、二次函数主要以压轴题形式考查，难度高，得分率低年份题号分值平均分难度系数201423综合题7分3.64 分0.52201425综合题8分1.44 分0.18201310填空题4分3.24 分0.81201323综合题7分3.22 分0.46201223综合题7分3.01 分0.4320117选择题4分3.12 分0.78201123综合题7分3.08 分0.44（部分数据来源：北京市教育考试院数据分析统计报告）北京中考二次函数主要以综合题的形式考查，通常出现在整张试卷的倒数第三题。
通过^^近4年北京中考二次函数考查情况的分析，我们发现，二次函数综合题得分率低，难度系数小，约为 0.4~0.5 （Tips：难度系数越小，难度越大中考数学整体难度系数约0.72属于中考数学的压轴题之一2、二次函数综合性强，最后一问考查数形结合思想，区分度大真题考查考点中考要求分值难度2014中考23题（1）问二次函数的图象和性质、解析式B1分易2014中考23题（2）问二次函数与方程和不等式C5分难2013中考23题（3）问二次函数与方程和不等式C3分难2012中考23题（1）问二次函数的解析式B2分易2012中考23题（2）问二次函数的图象和性质B1分中2012中考23题（3）问二次函数与方程和不等式C3分难2011中考23题（1）问二次函数的图象和性质B2分易2011中考23题（3）问二次函数与方程和不等式C3分难结合2011 —2014年的中考23题（Tips：二次函数综合压轴题），概括地说，二次函数综合压轴题是以函数为主线，结合一元二次方程的有关知识，运用几何图形的性质的综合性试题二次函数综合题一般为 3小问，考点主要是两点：I .前两问是对开口方向、对称轴、顶点坐标、解析式等基础知识的考查，满分 4 分，考生平均分2.71分左右。
属于必拿分题目）II .最后一问是对二次函数与一次函数交点的情况、二次函数与方程不等式的关系 等综合的考查，满分3分，考场平均分0.52分左右，最后一问是导致失分，拉 开学生之间的差距的关键属压轴部分）3、如何突破二次函数的最难点，实现二次函数综合题满分？通过对中考二次函数难度分析和考点分析，学而思北京中考研究中心给初三考生的建议是：I .二次函数综合题的第（1）问或前两问的正确率在 60%Z上，再结合2015年北京 市教育考试院给出的关于中考改革的意见来看，今年中考综合难度会略有降低，意味着这两问难度继续降低，所以要参加中考的同学一定要把此题前两问分数 拿到，以免被拉开差距II .最后一问的正确率在20%Z下，得分率低，难度大，这是二次函数压轴题的核心， 也是整张试卷中起到中考选拔作用的题目，所以建议要参加中考的同学专项训 练二次函数综合题最后一问的典型题目，总结归纳对应的解题方法和技巧那么怎么才能把最后一问的分数收入囊中呢？为帮助同学们顺利解决二次函数压 轴题，学而思北京中考研究中心团队通过数百道真题分析，提炼两种方法技巧，原创J 13种变式题，为初三同学们带来权威、实用的解题秘籍。
二、【2个技巧13个原创变式解决二次函数最难点】1、近两年考试真题剖析，方法技巧提炼考查方式：从前几年所考二次函数的综合性问题可以看出，命题模式比较固定, 都是给出一个含有字母系数的二次函数，通过某些条件确定这个二次函数的解析 式，然后基于这个已知的二次函数讨论某个一次函数和它(或它的一部分或它的变 化形式)的交点情况.(二次函数压轴题一般有 3小问)【二次函数压轴题第(1) (2)问的解决技巧】：技巧1. (1)若给出确定的解析式：第一步：计算出对称轴(利用 x -二 或者x —) 22a第二步：再利用因式分解或求根公式求出抛物线与坐标轴的交点(2)若给出含字母系数的解析式：第一步：根据各种特定的已知条件求出二次函数解析式(注意二次项 系数不为0);第二步：求出对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标；第三步：若求一次函数与二次函数的交点，只需把两解析式联立解方 程组即可；第四步：若有图像变换直接利用平移结论“上加下减，左加右减”或对称公式来解决，这些都是解决最后一问的前提.注意：求抛物线对称轴最重要！对称轴和交点都定后，之后再怎么变化就都尽在掌 握了.【二次函数压轴题第(3)问的解决技巧】：技巧2.搞定它的秘籍首先就是 精确作图，一定要用100%的耐心加细心把图象画好, 这是中考说明中给出的 A级，是最基本的要求，再找出临界点(临界点：图象边缘的两个点，不等式中恰好在边界的那些数值)，利用临界点确定字母系数的值或取值范围。
真题案例对比分析1 —— 2014年北京中考23题】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 2x2 mx n经过点A 0, 2 , B 3, 4 .(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C ,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B之间的部分为图象G (包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.【解析】(1) ••• y 2x2 mx n经过点 A(0 , 2),代入得:n 2 . m 418 3m n 4， n 2抛物线的表达式为y 2x2 4x 2对称轴xB(3,4)仁技巧1.给出含字母系数的解析式：那首先根据已知A(0 , 2) , B(3,4)两点坐标求出二次函数解析式确定解析式后，直接计算出对称轴(2)由题意可知C( 3, 4),二次函数y 2x2 由图象可以看出D点纵坐标最小值即为直线BC的解析式4-x 3当x 1时，y技巧2.首先精确作图，再找到D点的临界位置，发现C点的纵坐标和顶点的纵坐标一样,4xjf2fi5最/陲混就悬顶点，再连4,最大值即BC与对称轴交点逢CA和CB发现哪条直线和对称轴交点比较高？显然是 CB. ，，一 4,・ 4 W t W —.3【真题案例对比分析 2——2013年北京中考23题】问题就搞定了。
直接代入解析在平面直角坐标系xOy中，抛物线y mx2 x轴交于点B .式即可2mx 2m才0与y轴交于点A,其对称轴与(1)(2)(3)【解析】(1)技巧1.解析式中只有一个字b2a母系数，而且题干中提到了对贝 U B 1, 0(2)*由(1)可知，直线AB的解析式2x关于对称轴对称后的解析式为(3)•••抛物线的对称轴为直线称轴，那么直接利用x上求2 , 2a出对称轴.你看看， 连续两年x=1.♦・抛物线在2V xv3这一段与在 结合图象可以观察到抛物线在 直线l的下方，-1vxv 0这一段关于对称轴对称,2V x<-1这一段仅谦薄君瞥传0在里吟时群位••・抛物线与直线l的交点的横坐标为 1当x 1时，y 2 (-1) 2 4 ,所以，抛物线过当x 1时，m 2m 2 4,解得m 2 ,昌耳土耳线下方，是不是很晕•-.抛物线的解析式为 y 2x2 4x 2 .2、掌握13个原创变式，完胜二次函数中考最难点很迷茫？精确作图就能搞定根据近5年北京中考、一二模考试对于二次函M(各1a直铲其头2318*勺考查求点A , B的坐标；设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的解析式；若该抛物线在 2 x 1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直 线AB的下方，求该抛物线的解析式.的意见，学而思中考研究中心专家，根据历年此题最后一问的考查形式，原创了如情况以及2015年北京市招生管理办公室和北京市教嘉港麻肉华也眼关卡幅魄矍 下13个变式题目，帮助同学们熟悉考法并彻底掌握此靠班们触魄勤醐希等式中恰好在边界的数值，2, 1,2,3,有没有发现什【例题】已知二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交于A 1,0 , B 3, 0 ,与y轴交于 C 0, 3 .求该二次函数的解析式.【考法1】一一抛物线沿x轴翻折与平移直线的交点问题难度：★★将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，另得到一个新 的图象，请你结合新图象回答，直线 y x n与新图象的交点情况.（2009北京中考对此考点有考察）（2013丰台一模对此考点有考察）【考法2】一一抛物线沿x轴翻折与旋转直线的交点问题难度：★★★将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的 图象，请你结合图象回答，直线 y kx 3k 0与新图象的交点情况.（2012东城一模对此考点有考察）【考法3】一一抛物线沿平行于x轴的动直线翻折与平移直线的交点问题难度：★★★★将二次函数的图象在y b下方的部分沿y b翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答，直线 y -x b b 4只有两个公共点时，b的取值2范围.（2013海淀一模对此考点有考察）【考法4】一一抛物线沿x轴翻折后再平移与定直线的交点问题难度：★★ 将二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图 象G ,再将G向上平移n个单位，若图象G与过0, 5且与x轴平行的直线有4个交 点，直接写出n取值范围.（2013顺义二模对此考点有考察）【考法5】一一抛物线部分沿y轴翻折与平移直线的交点问题难度：★★★ 将二次函数y轴左侧的部分沿y轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象， 请你结合新图象回答，直线 y x n与新图象有两个交点时，n的取值范围.（2014东城一模对此考点有考察）【考法6】一一抛物线部分沿y轴翻折与旋转直线的交点问题难度：★★★ 保留二次函数的图象在 y轴右侧的部分，同时将其关于 y轴作轴对称，得到的新图 象为G,若一次函数y kx 3与图象G有三个公共点，求k的取值范围.（学而思北京中考研究中心研发）【考法7】一一抛物线部分沿平行于x轴的直线翻折与平移直线的交点问题难度：★★★。