基本不等式知识点总结向量不等式：,【注意】：a、,b［同向或有0|ab|a||bj>ll"|代数不等式:反向或有不共线L|旷恬||b|||||a||b|||ab||a0|a」b||b|.(|；b|;这些和实数集中类似）a,b同号或有0|ab||a||b|>|a||b||ab|；a,b异号或有0|ab||a||b|>|a||b||ab|.绝对值不等式:a〔 a2 a3 & a〔 a? a3双向不等式：ab（左边当ab< 0（> 0）时取得等号，右边当ab>0（< 0）时取得等号.）放缩不等式:0,a【拓展】0, m 0,② a,b,cb则一 a1,n 1 ，2 /n1 n0, m0,则0,ad 一;c糖水的浓度问题）anab n b(xn(x_ 1 1 n R).函数f (x) axb(a、 x0）图象及性质(1)函数 f (x)axa、b0图象如图:(2)函数 f (x)axa、b0性质:①值域:[2Vab,)；②单调递增区间：（）；单调递减区间:；],(0,］，,0)基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：a,bRa2b\2ab（当且仅当ab时取到“”）.2222【变形】：①ab<（a—b）2算术平均'几何平均 》调和平均”*.若x0,则x-2（当且仅当x1时取“=”）；x1若x0,则x 1 ..2（当且仅当x1时取“二”）x若x0,则x12即x12或x1-2（当且仅当ab时取“=”）xxx*.若ab0,则ab2（当且仅当ab时取“二”）ba若ab0,则a-2即刍-2或---2（当且仅当ab时取"二”）bababa3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3.33abc>3abc（abc得式即可成立,abc或abcC时取等）；* 不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用，如：当ab0时,.2b 2ab同时除以ab得b-ab* a,b,均为正数,2a八种变式:①abbj2②ab_ a b 2③(丁)b2a>0,b>0,¥‘2(a2 b2)；⑤若 b>0,2…a则一b2a⑥ a>0,b>0,则工a44^-；⑦若a b4 4,——； ⑧右abab1-2 a1 1/1b2 2 (a上述八个不等式中等号成立的条件都是“b”。
最值定理（积定和最小）① x, y 0,由x y > 2 J xy ,（和定积最大）② x, y 0,由x y > 2 J xy ,若积xy若和x【推广】：已知x, y R ,则有（xP（定值），则当xS（定值），则当y时和xy有最小值2/p ；x y是积xy有最大值;s2.y)2（1）若积xy是定值，则当|x y|最大时,2(x y) 2xy.|x y|最大；当|x y|最小时，|x y|最小.(2)若和|x y |是定值，则当|xy|最大时，|xy|最小；当|x y|最小时，|xy|最大.1 1③已知a,x,b, y R ,axi(ax by)(一 xby by1,则有则m尸的最小值为:—> a b 2Jab (^0" ■xfbya&.一十一—1若天y则x+沙和守的最小值为:A+y=(五十_/)(匕+2)=@十1+—+—^辽十后十2也石二(g+“芋①「一1--+—2怪^-鼻、唇,22百，Aab应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当0x4时，求函的数yx(82x)最大值..一51⑵凑项(加、减常数项)：例2.已知x-,求函数f(x)4x2的最大值44x5x1且a 2b 1,求t — —的最小值.a b7x10⑶调整分子：例3.求函数f(x)(x1)的值域；x1⑷变用公式：基本不等式■a—bjab有几个常用变形，一b-a—bb-("a—b)2不22222易想到，应重视；:：——15.例4.求函数yV2x1v52x(-x］)的最大值；一，一，、--,一，216……⑸连用公式：例5.已知ab0,求ya的取小值；b(ab)I ln、，⑹对数变换：例6.已知x-,y1,且xye,求t(2x)lny的最大值；⑺三角变换：例7.已知03tany,求txy的最大值;⑻常数代换(逆用条件)：例8.已知a0,b0,“单调性”补了⑴平方和为定值■22右xy“基本不等式”的漏洞:①f(x,y)xa(a为定值,y.asina0),可设x\/acos,yTasin-其中0w2.\/acosV2gsin(—)在[0,-],[5,2)上是增函数,444在[1,45——］上是减函数;4[134,4，、1g(x,y)xy-asin2一57r一],[-，—]上是减函数;441357在［0，4町，5］，［4，2)上是增函数II xysincos③m(x,y)一—=.令tsincosJ2asin(一)，其中xyxyasincos4t［衣1)|J(1,1)J1，依.由t其中z —，则一 一 z, — — z,得x d x d y d12sincos,得2sincost21,从而m(x,y)—2t——2—在［衣1)］］(1,1)U(1,J2］上是减函数.a(t2 11 11),a(t1)t⑵和为定值若xyb(b为定值，b0),则ybx._2bb①g(x,y)xyxbx在(，2］上是增函数，在［2,)上是减函数；② m(x, y)1 1 x yx y xy［b,b),(b,）上是增函数；当b1一.当b 0时，在（，0）,（0,-］上是减函数，在 x2 bx 2b b _ _0时，在（，b）,（b,g］上是减函数，在［万,0）,（0,）上是增函c一.成等差数列且均不为零，可设公差为 xd d ,y ..1 dz 1 dz① f (x) x2d y 1 d2z2.当d 0时，在（1、， 1 c, rc 1、，1-),(二,0］上是减函数，在［0,-),(-, d d d d）上―2222bb）上是增函数;③n(x,y)xy2x2bxb在(，b］上是减函数，在［b,⑶积为定值..c右xyc(c为te值，c0),则y—.x①f(x,y)xyx£.当c0时，在［Jc,0),(0,Jc］上是减函数，在(，Jc］,［Jc,)x上是增函数；当c0时，在（,0）,（0,）上是增函数;②m（x,y）----y-（x£）.当c0时，在［Jc,0）,（0,而］上是减函数，在xyxycx（,a/c］,［7c,）上是增函数；当c0时，在（，0）,（0,）上是减函数；2③n（x,y）x2y2x2与（x-）22c在（，Tc）,（0,7c］上是减函数，在xx（Jc,0］,［Jc,）上是增函数.⑷倒数和为定值4112111…右_—一(d为定值，_,一,_),贝Uyxydxdy1111增函数；当d。
时，在（，一）,（一,0］上是增函数，在［0,—）,（—,）上减函数；dddd2②g（x,y）xy—r^..当d0时，在（，；）,（；,0］上是减函数，在［0=）,（；,）上1dzdddd11____11是增函数；当d0时，在（，一）,（一,0］上是减函数，在［0,一）,（一,）上是增函数;dddd③n(x,y)x2,.222d(dz1)22d——，J..令tdz1(dz1)其中t>1且t2dtn(x,y)2(t2)2d2tTt—在［1,2）上是增函数，在（2,）上是减函数.4。