For personal use only in study and research; not for commercial use全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等•对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.1、 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、 截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、 延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件.M图一MBM图M图三图四典型例题精讲【例1】 如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且 PD丄BC于D, AB+ BC =2BD .求证：.BAP + . BCP =180 .【解析】过点P作PE丄AB于点E.VPE± AB, PD 丄 BC, BN 平分/ABC,： PE 二 PD .在 Rt APBE 和 Rt APBC 中，BP 二 BPPE =PD，•••Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE = BD .••• AB BC =2BD , BC =CD BD , AB=BE -AE , • AE =CD .••PE 丄 AB, PD 丄 BC,：/ PEB ^PDB =90 .在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PDI••• gPEB 二.PDC ,AE =DC• △AE织t A^CD，•— PCB = EAP .••• BAP EAP =180 ,.•• BAP BCP =180 .【答案】见解析.DC【例2】 如图，已知：.A=90 , AD // BC, P是AB的中点，PD平分/ ADC，求证：CP平分/ DCB .【解析】因为已知 PD平分/ ADC，所以我们过 P点作PE丄CD，垂足为E,贝U PA = PE，由P是AB的中点，得 PB二PE，即CP平分/ DCB .【答案】作PE丄CD，垂足为E, ••• /PEC 厶=90 ,••• PD 平分/ ADC , • PA 二 PE ,又••• • B =■ PEC =90 , ••• PB=PE ,•••点P在/ DCB的平分线上，• CP 平分/ DCB .【例3】 已知：• AOB =90 , OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .(1) PC和PD有怎样的数量关系是 (2) 请你证明(1)得出的结论.【解析】(1) PC =PD .(2)过P分别作PE丄OB于E, PF丄OA于F ,• •• CFP 二 DEP =90 ,••OM 是/AOB 的平分线，••• PE 二 PF ,T. 1 . FPD =90，且.AOB =90 , • FPE =90 ,• •上2 ZFPD =90，•匚 1 厶2 ,在△CFP和ADEP中>CPF ZDEPPF =PE , AZCFP 也zDEP ,• PC =PD ..1 =/2【答案】见解析.【例4】 如图①，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图②，在△ ABC中，/ ACB是直角，.B =60 , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系(不需证明)；(2) 如图③，在△ ABC中，.B =60，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【解析】如图①所示;(1) FE =FD .(2) 如图，过点 F作FG丄AB于G,作FH丄BC于H，作FK丄AC于K,••AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线，• FG 二 FH 二 FK ,在四边形 BGFH 中，/GFH =360 -60 -90 2 =120 ,••AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线，• B =60 ,1••• FAC FCA 180 —60 =60 .2在△AFC 中， AFC =180"-：i/FAC FCA =180 -60 =120 , 二 EFD 一 AFC =120 ，二 EFG 一 DFH在AEFG和ADFH中,EFG -. DFH' .^EGF =. DHF , aZEFG 也QFH FE 二 FDFG =FH【答案】见解析.【例5】已知.MAN =120 , AC平分/ MAN，点B、D分别在AN、AM 上.（1） 如图1，若/ ABC ZADC =90，请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并证明 之；（2） 如图2，若.ABC • . ADC =180 ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 给出证明; 若不成立，请说明理由.1【解析】（1）得到• ACD =/ACB =30后再可以证得 AD =AB二-AC，从而，证得结论；2（2）过点 C分别作 AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F，证得△ CED也JCFB后即可得到AD AB 二 AE - ED AF FB 二 AE AF，从而证得结论.【答案】（1 ）关系是：AD AB二AC .证明：T AC 平分/MAN , - MAN =120• * CAD “AB =60又乙ADC