初中数学竞赛教程及练习之三点共线附答案 1 三点共线一、内容提要1.要证明A ，B ，C 三点在同一直线上，常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2.证明三点共线常用的定理有：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤两圆相切，切点在连心线上⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ，PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上证明：过点P 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上, -全文完-。