n3.6.9 多目标函数的优化方法在实际工程设计问题中，常常期望同时有几项设计指标都达到 最优值，这就是所谓的“多目标函数的优化问题”对同一设计，同时 具有两个或两个以上优化性能指标的均属多目标函数的优化问题，其 数学模型的一般表达式为：n求解 X=[x1, x2, …, xn ]T ∈ Rnmin f1(X)min f2(X)┇min fq(X) s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,mhj(X)=0, j=1,2,…,pn 在上述多目标函数的优化问题中，各个目标函数f1(X), f2(X),…,fq(X)的优化往往是相互矛盾的，不能期望它们的极小点重复在一起，即不能同时达到最优解；甚 至有时还会产生对立的情况，即对一个目标函数是最优点 ，对另一个目标函数却是差点这需要在各个目标函数的 最优解之间进行协调，相互之间作出适当“让步”，以便 取得整体最优的方案而不能像单目标函数的优化那样， 通过简单比较函数值大小的方法去寻优由此可以看出， 多目标函数的优化问题要比单目标函数的优化问题复杂的 多。
而多目标函数的优化方法虽然很多，但真正有效的方 法并不多以下将要介绍几种常用的优化方法n1 主要目标法考虑到在多目标函数优化问题中各目标的重要程度不一样，在优化问题中显然首先考虑主要目标，同时 兼顾次要目标主要目标法就是以此思想作为指导，首 先将多目标函数优化问题中的全部目标函数，按其重要 程度排列，最重要的排在最前面，然后依次求各个（单 ）目标函数的约束最优值，这时其它目标函数则根据初 步设计的考虑给予适当的最优值的估计值（在求得实际 最优值后应以实际最优值进行替换），作为辅助约束处 理这样就将多目标函数的约束优化问题，转化成一些 单目标函数的约束优化问题，寻求整个设计可以接受的 相对最优解对数学模型中的q个分目标选出一个最重要的作为主要 目标，例如选f1(X)，同时对其它q-1个分目标fj(X) (j≠1)，给出上下界值:αj≤fj(X)≤βj , j≠1即限定这些分目标在一定范围内取值，把这些目标降为约束条件于是，问题转化为下列单目标优化问题：min f1(X)s.t.gi(X)≤0, i=1, 2, …, mfj(X)-βj≤0αj-fj(X)≤0, j=2, 3, …, qn在实际工程的优化设计中，总可以根据基本要求，对各 项设计指标（目标）作出正确的估计和判断，并按其重 要性进行排列，因此本法在实际使用中并不困难。
n2 统一目标法统一目标法的实质就是将优化模型中的各个目标函数（ 或称分目标函数）f1(X), f2(X), …, fq(X) 统一到一 个总的“统一目标函数” f(X) 中，即令：f(X) = f{f1(X),f2(X),…,fq(X)}使原优化问题转化为求解min f(X), x∈Rns.t. gi (X)≤0, i=1,2,…,mhj (X)=0, j=1,2,…,p的形式，把多目标函数的优化问题转化为单目标函数的 优化问题来求解在极小化 “统一目标函数” f(X) 的过程中，为了使各个 目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用以下 的一些方法：n（1） 加权组合法又称为线性组合法或加权因子法，即在将各个分 目标函数组合为总的“统一目标函数”的过程中，引入加 权因子，以考虑各个分目标函数在相对重要程度上的差 异及在量级和量纲上的差异为此， f(X) 写为：f (X) =∑ωj fj (X) (j=1,2,…,q)式中 ωj —— 第j项分目标函数 fj(X) 的加权因子，是一个大于零的数，其值决定于各项目标的数量级及重要程度 n加权组合法的关键是加权因子的选择n（2）目标规划法先分别求出各个分目标函数的最优值 fj(X*) ，然后根据多目标函数优化设计的总体要求，作适当调整，制定出思 想的最优值 fj (0) 。
则统一目标函数可按如下方法来构成：这意味着当各项分目标函数分别达到各自的理想最优值fj(0) 时，统一目标函数f(X)为最小n此法的关键在于选择恰当的fj(0) (j=1,2,…,q)值n（3）分目标乘除法如果能将多目标函数优化问题中的全部q个目标分为 ：目标函数法愈小愈好的所谓费用类(如材料、工时、 成本、重量等)和目标函数值愈大愈好的所谓效益类( 如产量、产值、利润、效益等)，且前者有s项，后者 有(q-s)项, 则统一目标函数可取为:n n显然，使f(X) min可得最优解 n3 宽容分层序列法n此法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题 的求解方法n基本思想：n将多目标优化问题中的 q 个目标函数分清主次，依次对 各个目标函数求最优解，求解时，对各目标函数的最优 值放宽要求，可以预先对各目标函数的最优值取给定的 宽容量，即δ1> 0， δ2> 0，…，这样，在求后一个目 标函数的最优值时，是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化n各层优化问题如下：n3.7 优化设计实 例n例1：如图所示曲柄式少齿差行星传动， 要求输入功率P=4KW，输入转速 n1 = 2890r/min，输出转速n4=10 r/min，总传动比 i14 = 289，每天工作8h，工作平稳。
由于装配空间的限制，要求此机构体积小、重量轻试设计曲柄式少 齿差行星传动机构n解：曲柄式少齿差行星传动机构的传动比为n为使偏曲轴少齿差行星减速器重量轻、体积小，并使少 齿差行星齿轮传动具有良好的传力性能，分别取各齿轮 体积之和最小和啮合角最小为目标函数n设计变量为：nX= = n约束条件： 根据设计要求，曲柄式少齿差行星传动机构优化设计中的 约束条件可分为三类：强度约束、几何约束和边界约束 条件 优化设计模型是由13个设计变量和32个约束条件组成的 双目标优化 例2. 考虑尺寸公差的圆柱螺旋压簧的最大切应力某弹簧使用中有1/3发生断裂，查找设计上的原因 1. 基本公式：1. 设计变量2. 目标函数H1=4mm对应的载荷F:3. 约束函数1）抗力 R 的检验条件2）丝径约束3）自由高度约束4）内径约束5）外径约束6）工作圈数约束4. 结果例题1：海森矩阵判断极值点例题2：二次插植法例题3：梯度法例：例：试用牛顿法求函数试用牛顿法求函数f(Xf(X)=x)=x1 12 2+25x+25x2 22 2的极小点的极小点例题4：牛顿法n例：用DFP法解min f(X)=60-10x1-4x2+x12+x22 -x1x2。
初始点为X(0)=(0,0)T,ε=0.0001.n解： （1）令K = 0, （2）计算目标函数的梯度▽f(X(0))（3）搜索方向为虽然此时搜索方向为负梯度方向沿此方向进行一维 搜索，求得最优步长因子λk例题5：变尺度法将X(1)=X(0)+ λS(0) 代入目标函数得f(X(1)) =60-10(10 λ)-4(4 λ)+(10 λ)2+(4 λ)2-(10 λ)(4 λ)=60 - 116 λ +76 λ 2=q(λ)为求极小值，将上式对λ求导，并令q/(λ)=0，即dq / d λ =-116+152 λ =0解得 λ(0)=0.7631得 X(1)=X(0)+ λ(0)S(0) = [0,0]T+0.7631[10,4]T=[7.631,3.052]T（4）收敛性判别(5）因此时K
6）K←k+1构造新的搜索方向（拟牛顿方向）为:S(k+1)=S(1)=-A(1)▽f(X(1))=[0.646, 5.169]T沿S(1)方向作一维搜索求λ(1)，方法与求λ(0)相同，得 λ(1)=0.5701，新的迭代点为:X(2)=X(1)+ λ(1)S(1)=[7.9999, 5.9999]T≈[8,6]T （7）收敛性差别：║▽f(X(2))║=(02+02)1/2 <ε，停止迭代 输出最优解n X*=X(2) = [8, 6]Tn f (X*) = f(X(2)) = 8n注意：DFP变尺度法属于共轭方向法例题6：Powell法例题7：复合形法例题8：拉格朗日乘子法例题9：外点法n约束优化问题采用内点法求解如下构造泛函及罚函数例题10：内点法为了便于说明迭代过程，下面用解析法来求极值取初始罚因子，罚因子的递减率c＝0.1。