第五节第五节 初等矩阵（初等矩阵（Elementary MatrixElementary Matrix ））及其性质及其性质初等矩阵的概念与性质初等矩阵的概念与性质用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵问题与思考问题与思考第二章第二章 矩阵概念及其运算矩阵概念及其运算初等矩阵及其性质 一、初等矩阵的概念与性质一、初等矩阵的概念与性质【定定义义2.9】由由单单位位矩矩阵阵经经一一次次初初等等变变换换而而得得到到的的矩矩阵阵称为初等矩阵称为初等矩阵.初等矩阵分为三类初等矩阵分为三类,分别记为分别记为Eij、、Ei（（k）、）、 Eij（（k）；）； 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵E23=（（1））Eij: 交换单位矩阵的第交换单位矩阵的第 行（行（列列），得到的初等矩阵），得到的初等矩阵初等矩阵及其性质 (2) :单位矩阵E的第 行（列）元素乘以常数 ，得到的初等矩阵E3（（k））= 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵(3) ：单位矩阵 的第 行(第 列)乘以常数 加到第 行(第 列)，得到的初等矩阵 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵E12（k）=初等矩阵及其性质 1））对对A施施行行一一次次初初等等行行变变换换的的结结果果等等于于用用一一个个相相应应的的初初等等阵阵左左乘乘矩矩阵阵A;对对A施施行行一一次次初初等等列列变变换换的的结结果果等于用一个相应的初等阵等于用一个相应的初等阵右乘右乘矩阵矩阵A.初等矩阵有以下性质：初等矩阵有以下性质：行变换：行变换：列变换列变换：：初等矩阵及其性质 如：如：初等矩阵及其性质 用用初等矩阵初等矩阵表示矩形框里的矩阵：表示矩形框里的矩阵：初等矩阵及其性质 2））初初等等矩矩阵阵都都是是可可逆逆矩矩阵阵,并并且且初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵还是初等矩阵还是初等矩阵,即即:行变换：行变换：BABABA初等矩阵及其性质 3）） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：初等矩阵及其性质 【【定定理理2.4】】矩矩阵阵A可可逆逆的的充充要要条条件件是是:存存在在有有限个初等阵限个初等阵P1，，P2，，…,Pk，，使A=P1P2…Pk.【证证】 充分性充分性:设有初等阵设有初等阵P1，，P2，，…,Pk, 使使A=P1P2…Pk. 因因初初等等阵阵是是可可逆逆矩矩阵阵,且且可可逆逆阵阵的的积积还还是是可可逆逆阵阵，，所所以以A可逆。
可逆 即 A= P1P2…Pk, 必要性必要性：设设A是可逆阵，所以是可逆阵，所以R(A)=nA经初等变换可以化成单位矩阵经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等，从而经有限次初等变换可以将变换可以将E变成变成A，，存在有限个初等阵存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使A= P1P2…PlEPl+1…Pk,证毕证毕二、用初等变换求逆矩阵二、用初等变换求逆矩阵初等矩阵及其性质 【推推论论1】两两个个 型型矩矩阵阵A、、B等等价价的的充充要要条条件件是是:存存在在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P及及n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,使使PAQ=B. 证证 A A与与B B等价等价 存在有限个存在有限个 阶初等矩阵阶初等矩阵及有限个及有限个 阶阶 初等矩阵初等矩阵 使使 令令 由定理由定理2-42-4知知P P是是 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,Q,Q为为 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 且且 PAQ=B PAQ=B 初等矩阵及其性质 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)【推推论论2】】设设A是是 矩矩阵阵,P是是m阶阶可可逆逆矩矩阵阵，，Q是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵.则则【推推论论3】设设A是是可可逆逆矩矩阵阵,则则可可以以只只经经过过初初等等行行变变换换化成单位矩阵化成单位矩阵E.这表明这表明,只经过初等行变换便可将只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵化成单位矩阵.【证推论证推论3】 因因A可逆可逆, 所以所以A-1也可逆也可逆,由定理由定理2.4存在初等阵存在初等阵P1,P2,…,Ps,使使A-1= P1P2…Ps因为因为 A-1A=E 于是有P1,P2,…,PsA=E初等矩阵及其性质 二、用初等变换求逆矩阵二、用初等变换求逆矩阵 得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsE=A-11.用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵设设A是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则则A-1 也可逆。
也可逆从而存在初等阵从而存在初等阵P1,P2,…,Ps由由 A-1A=E; A-1E= A-1; 结论结论: 若经过一系列初等行变换将若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵化成单位矩阵E时时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵E化成了逆矩阵化成了逆矩阵A-1 用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩构造矩:(A E);2)做初等行变换做初等行变换初等矩阵及其性质 例例1 求A的逆矩阵,其中 【解解】 由于初等矩阵及其性质 所以:初等矩阵及其性质 2.用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程（1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B由 A-1A=E; A-1B= X;设:A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵)得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsB=X解矩阵方程解矩阵方程:AX=B(其中其中A可逆可逆)的一般方法的一般方法: （（2）当矩阵）当矩阵A可逆时可逆时,如何用初等变换求解矩如何用初等变换求解矩阵方程阵方程:XA=B ?想一想想一想初等矩阵及其性质 例例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中解解: 由于所以初等矩阵及其性质 例例3初等矩阵及其性质 设矩阵设矩阵 矩阵矩阵 满足满足 ,其中其中 是是 的伴随矩阵，求的伴随矩阵，求 .例四６６页 ６例四６６页 ６解：解：初等矩阵及其性质 三、小结三、小结1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 变换类型相同．变换类型相同．3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2 2. .初等变换初等变换初等矩阵及其性质 5. 5. 初等变换的应用初等变换的应用用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法: :1)构造矩构造矩:(A E);2)做初等行变换做初等行变换用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程:AX=B(:AX=B(其中其中A A可逆可逆) )的方法的方法: :用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程:XA=B(:XA=B(其中其中A A可逆可逆) )的方法的方法: :4. 4. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换初等矩阵及其性质 •作业：作业： 6２页２页 习题习题2-5 1;2;3• 6６页６页 总习题二总习题二 6;初等矩阵及其性质 练习练习 将下列矩阵利用初等变换化为将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形行阶梯形, ,再再化化为为行最简形行最简形, ,最后最后化为标准形化为标准形. . 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换初等行变换. . 化矩阵为标准形时，初等行变换和初化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用等列变换均可以使用. .初等矩阵及其性质 初等矩阵及其性质 依次为行阶梯形和行最简形矩阵。
依次为行阶梯形和行最简形矩阵最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，依次为依次为初等矩阵及其性质 例例4 4 求解矩阵方程求解矩阵方程AX=A+X,其中其中 解解 把所给方程变形为把所给方程变形为 ( A- -E ) X = A. 初等矩阵及其性质 初等矩阵及其性质 A- -E ~ E, A- -E可逆可逆,且且 初等矩阵及其性质 。