2024-2025学年山东省枣庄市薛城区高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线 3x−y+1=0的倾斜角为( )A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π62.抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于( )A. 32 B. 3 C. 6 D. 83.已知等差数列an的首项为1，若a1, a2, a3+1成等比数列，则a4=( )A. −2 B. 4 C. 8 D. −2或44.设x∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,−2,1)，且a⊥b，则|a+b|=( )A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 35.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(−2,3,1)到x轴的距离为( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 106.已知双曲线C：3x2−y2=3，则C的焦点到其渐近线的距离为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 37.已知半径为1的圆经过点A(2,3)，过点M(−2,0)向圆作切线，则切线长的最大值为( )A. 35 B. 2 6 C. 15 D. 4 38.已知函数fx=sinπx3，数列an满足a1=1，且an+1=1+1nan+1n(n为正整数).则fa2025=( )A. −1 B. 1 C. − 32 D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an−1，则下列结论中正确的是( )A. a2=2 B. S4=30C. an=2n D. 数列Snan是递增数列10.如图，F1,F2是双曲线C1:x2−y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1,C2在第一象限内的交点，若F1F2=F1A，则( ) A. 双曲线的渐近线为y=±8x B. C2的离心率为35C. C2的方程为x225+y29=1 D. ▵AF1F2的面积为8 211.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AP=AB+xAA1+yAD，x∈[0,1]，y∈[0,1]，则( )A. 当x=1时，D1P+BP的最小值为 5B. 当x=y时，有且仅有一点P满足DB1⊥A1PC. 当x+y=1时，有且仅有一点P满足到直线A1B1的距离与到平面ABCD的距离相等D. 当x2+y2=1时，直线AP与C1D1所成角的大小为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知点P2,−2 2在抛物线C:y2=2px上，则点P到抛物线C的焦点的距离为 ．13.数列an满足an+1=an2an+1,a1=1，则a8= ．14.已知正四面体ABCD的棱长为6，点E，F满足BC=λBE，BD=λBF，用过A，E，F三点的平面截正四面体ABCD的外接球O，当λ∈[1,3]时，截面的面积的取值范围为 ．四、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题12分)已知直线l1：4x−3y+5=0与l2垂直，且l2经过点−1,1．(1)求l2的一般式方程；(2)若l2与圆C：x2+y−42=25相交于A,B两点，求AB．16.(本小题12分)已知递增等差数列an的前n项和为An,a1+a5=10,a2⋅a4=21,n∈N∗．(1)求an和An；(2)数列bn满足2log2bn=an−1，求bn的前n项和Bn；(3)若Tn=nb1+n−1b2+⋯+bn，求数列Tn的通项公式．17.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AC= 5,BC=4,AA1=2,M,N分别为B1C1和A1B的中点． (1)求证：MN//平面ACC1A1；(2)判断A1B与CM是否垂直，并说明理由；(3)求平面CMN与平面AA1B1B所成角的余弦值．18.(本小题12分)已知数列an，若an+an+1为等比数列，则称an具有性质P．(1)若数列an具有性质P,a1=1,a2=2,a3=7，求a4；(2)若bn=2n+(−1)n，求证：数列bn具有性质P；(3)数列cn具有性质P,c1=c2=1,c3=3，求cn．19.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F坐标为1,0，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过作点F直线l与椭圆C相交与A,B两点，(i)在x轴上存在一点Q，使得QA,QB两条直线恰好关于x轴对称，求点Q的坐标；(ii)再过该Q点作x轴的垂线与l交于点M，过M作直线MN与OA平行，交x轴于点N，交直线OB于点P，求MPPN的值．参考答案1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C 9.AD 10.BD 11.ACD 12.3 13.115 14.12π,272π 15.解：(1)由直线l1：4x−3y+5=0，可得斜率k1=43，因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为k2=−34，又因为直线l2过点−1,1，所以直线l2的方程为y−1=−34x+1，即3x+4y−1=0．(2)由圆C：x2+y−42=25，可得圆心C0,4，半径r=5，则圆心C到直线l2：3x+4y−1=0的距离为d=4×4−1 32+42=3，又由圆的弦长公式可得弦长AB=2 r2−d2=2 25−9=8 16.解：(1)设数列an公差为d(d>0)，由2a1+4d=10a1+da1+3d=21,解得a1=1d=2或a1=9d=−2(舍去)，所以an=1+n−1×2=2n−1，An=na1+nn−12d=n+nn−12×2=n2；(2)由2log2bn=2n−2，即log2bn=n−1，得bn=2n−1，bn+1bn=2n2n−1=2,b1=1，所以bn为首项为1公比为2的等比数列，Bn=1−2n1−2=2n−1；(3)方法一：Tn=nb1+n−1b2+…+bn，由(2)知bn=2n−1，所以Tn=n×20+n−1×21+n−2×22+⋯⋯+2×2n−2+1×2n−1，2Tn=n×21+n−1×22+⋯⋯+3×2n−2+2×2n−1+1×2n，两式相减得Tn=21+22+23+⋯+2n−2+2n−1+2n−n=2−2n+11−2−n=2n+1−n+2；方法二：Tn=nb1+n−1b2+…+bn=b1+b1+b2+b1+b2+b3+⋯+b1+b2+⋯+bn=B1+B2+⋯+Bn=2−1+22−1+⋯+2n−1=2+22+⋯+2n−n=22n−12−1−n=2n+1−2−n． 17.解：(1)连接AB1,AC1，由于M,N分别B1C1和AB1的中点，则MN//AC1又因为AC1⊂平面ACC1A1,MN⊄平面ACC1A1，因此MN//平面ACC1A1(2)取BC中点O，连接OA,OM，则OM//BB1，则OM⊥平面ABC，由于AB=AC，则AO⊥BC，因此，OB,OA,OM两两垂直，以O为原点，OB,OA,OM的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A0,1,0,A10,1,2,B2,0,0,C−2,0,0,M0,0,2,N1,12,1，MC=−2,0,−2,A1B=2,−1,−2．所以A1B⋅MC=−2,0,−2⋅2,−1,−2=0．所以A1B与CM垂直．(3)MN=1,12,−1,AB=2,−1,0，设平面CMN的一个法向量为n1=x1,y1,z1n⋅MN=0n⋅MC=0，所以x1+12y1−z1=0−2x1−2z1=0，取x1=1y1=−4z1=−1则n1=1,−4,−1设平面AA1B1B的一个法向量为n2=x2,y2,z2，n2⋅AB=0n2⋅AA1=0，所以2x2−y2=02z2=0，即y2=2x2z2=0取n2=1,2,0，则cosn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=1,−4,−1⋅1,2,0 18× 15=−7 1030．设AB与平面CMN所成角为θ，则cosθ=cosn1,n2=7 1030即平面CMN与平面AA1B1B与所成角的余弦值为7 1030． 18.解：(1)由题意可知a1+a2,a2+a3,a3+a4成等比数列．则a2+a32=a1+a2a3+a4即(2+7)2=1+27+a4，81=21+3a4，解得a4=20．(2)bn+bn+1=2n+(−1)n+2n+1+(−1)n+1=3⋅2n；bn+1+bn+2=2n+1+(−1)n+1+2n+2+(−1)n+2=3⋅2n+1bn+1+bn+2bn+bn+1=3⋅2n+13⋅2n=2,b1+b2=6，数列bn+bn+1是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质P．(3)由数列cn具有性质P，则cn+cn+1为等比数列，因为c1+c2=1+1=2,c2+c3=1+3=4所以c2+c3c1+c2=2，故数列cn+cn+1为以2为首项以2为公比的等比数列．则cn+cn+1=2⋅2n−1=2n，于是cn+12n+1=−12⋅cn2n+12，即cn+12n+1−13=−12cn2n−13，由c12−13=16．则数列cn2n−13是以16为首项，以−12为公比的等比数列，故cn2n−13=16−12n−1，得cn=2n+(−1)n−13． 19.解：(1)依题意得c=1ba= 32a2=b2+c2，解得a=2,b= 3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)(i)设直线l的方程为：x=my+1,m≠0,Ax1,y1,Bx2,y2，联立x=my+13x2+4y2=12，整理得4+3m2y2+6my−9=0，其中Δ=(6m)2+4⋅93m2+4=36⋅4m2+1>0，则y1+y2=−6m4+3m2,y1y2=−94+3m2,y1+y2=2m3y1y2，设Qt,0，因为QA,QB恰好关于x轴对称，所以kQA+kQB=0，即y1x1−t+y2x2−t=0，即y1x2−t+y2x1−t=0，即y1my2+1−t+y2my1+1−t=0，整理可得2my1y2+1−ty1+y2=0，则2m⋅−94+3m2+1−t−6m4+3m2=0，即−6m4−t4+3m2=0得4−t=0，即t=4，所求点Q的坐标为4,0；(ii)对于直线l的方程，令x=4，得y=3m，所以点M的坐标为M4,3m，由于直线OA的斜率为kOA=y1x1，直线MN//直线OA，所以kMN=y1x1，从而直线MN的方程为y−3m=y1x1x−4，①令y=0，得x=4−3x1my1=4my1−3x1my1，于是点N的坐标为Nmy1−3my1,0，所以直线OB的方程为y=y2x2x，②联立方程①②得y2x2x=my1x+3−my1mx1，即mx1y2x=my1x2x+x2⋅3−my1，即mx1y2−y1x2x=x2⋅3−my1，其中x1y2−y1x2=my1+1y2−my2+1y1=y2−y1，所以my2−y1x=x2⋅3−my1，于是有xP=x2⋅3−my1my2−y1，从而得yP=y2⋅3−my1my2−y1，MNPN=yMyP=3my2⋅3−my1my2−y1=3y2−y1y2⋅3−my1=3y2−y13y2−my1y2，③方法一。