平面直角坐标系（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点：1．使学生逐步理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出平面直角坐标系；2．理解平面内点的坐标的意义，会根据平面内已知点的位置写出它对应的坐标，反之，已知平面上点的坐标 能确定点的位置． （二）能力训练点：1．进一步培养学生观察图形的能力；2．逐步培养学生把所学的数学理论用于解决实际问题的能力；3．初步培养学生把实际问题转化成数学模型的能力；4．通过直角坐 标系的教学，向学生渗透数形结合的思想方法． （三）德育渗透点：通过直角坐标系的教学，使学生进一步明确数学理论来源于实践，反 过来又能指导实 践进一步发展的辩证唯物主义思想． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：使学生能在平面直角坐标系中，已知点的坐标，能确定 这一点的位置；已知点的位置，能写出与它对应的坐标．因为它是以后研究函数的基础． 2．教学难点：教材中概念、定义、名词多，学生看书时一时理不出个头绪，难以掌握教材． 三、教学步骤 （一）明确目标 在复习数轴上每个点都对应一个实数的基础上，给出这个实数叫做这个点在数轴上的坐标的定义．有了 这个定义，本 节课我们 开始学习平面上点的坐标．为此我 们首先学习平面直角坐标系． 给出题目： 13．1 平面直角坐标系 （二）整体感知 在出示章前图时（图 13-1），说明两个问题，一是横轴分别表示一天 24 小时；二是纵轴表示由零下 4 度到零上 10 度．这就是为了工农业生产的需要气象工作者绘制的 24 小时天气变化情况的记录．针对图（13-1）同学们回答下列问题： 1．你能看出这一天最高温度在哪一点？ 2．最低温度在哪一点？ 3．8、12、18 时的气温是多少度？ 4．你能说出一天中什么时刻气温最高，什么 时刻气温最低？ 大概你很想知道气象工作者是怎样绘制的这幅图，为了使你也能根据情况画出此图，必须学好本章的 课程．在本章中，我们将学 习有关一种量随另一种量J 变化的一些基本问题，其中包括用式子、图象和表来描述，刻划这种变化的内容．这些内容属于代数中函数部分． 为此，我们首先来学 习平面直角坐标系． 请同学们思考：什么是数轴？数轴上的点与实数有什么关系？ 当学生回答出数轴上的点与实数是一一对应的，使学生明确：如果知道一个点对应的实数，那么这个点在数轴上的位置就被确定．这时就可以定义“ 数轴上每一个点都对应一个实数， 这个实数叫做这个点在数轴上的坐标” ． 练习一：由学生自己完成 1．写出数轴上 A，B，C，D，E 各点的坐标（出示幻灯）． 2．在数轴上分别标出坐标为-1， 4，2.5，0，-1.5，-3.5 各点．在学生有了点在数轴上的坐标这个概念的基础上，教师可提出：在教室中，怎样确定王敏同学的位置？ 用电脑出示图 13-2．学生可能回答，她坐在左数第三趟（列）第六位．如果我们依照章前图的做法就可以把王敏的坐位标出来．用一个水平数轴表示趟（列），再用一个竖直的数轴表示位（行）．如果知道王敏坐在第三列第六行，马上就能确定她的座位．即过横轴 3 处 做横轴的垂线，再 过竖轴 6 处做竖轴的垂线交于点m，这就是王敏的座位．这就是说要确定平面上一点的位置，必须有两个对应的数． 依照这种方法，在平面内画两条互相垂直的数轴， 组成平面直角坐标系．（如图 13-3）其中水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做 y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点 O 是原点．这个平面叫做坐标平面．x 轴J 和 y 轴将坐标平面分成四部分，按逆时针的方向分别称之为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．但必须注意，坐 标轴上的点不属于任何象限． 现在我们依照确定王敏座位的方法，确定平面直角坐标系中 A 点的坐标．（如 图 13-4）学生不难得出 A 点在 x 轴上坐标为 3，在 y 轴上坐标为 2．那就是说，A 点的位置由 3、2 这一对数来唯一确定，我们就把数对（3，2）叫做 A 点在平面直角坐标系中的坐标， 记作 A（3，2）．一定要把 x 轴上的坐标写在前面，即A（x，y）． 练习二：在上面的坐标系中请同学们写出 B 点的坐标． 例 1 写出图中 A，B，C，D 各点的坐标．（ 图 13-5） J 注意：1．开始要遵照前面点的坐标的概念，从 图上的点分别向两轴作垂线，得出坐标； 2．例题可由学生自己来完成，同学 们互相改正错误； 3．写出答案之后，注意 A 和 B 两点的坐标，一个是（2，3），另一个是（ 3，2），它们是平面内不同的两点，因此坐标不仅是实数对，还是有序的实数对，不能写错顺序． 现在我们来研究另一方面的问题．如果我们已知平面上某点 m 的坐标为（2，3），你能否在平面上找出这一点的位置？有了前面的准备，学生是可以确定出点的位置的． 例 2 在直角坐标系中，描出下列各点： A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）． 此题可由学生自己完成，一名学生板书． 练习三： 作完后回答教师提出的问题： （1）F 点在什么位置上？它的坐标有什么特征？任何一个在 x 轴上的点的坐标都有这个特征吗？ （2）能否由问题（1）猜想出 y 轴上的点的坐标有什么特征？如果点在坐标原点上呢？ （3）从（1）、（2）两个问题中，你能总结出哪些规律？ （三）重点、难点的学习与目标完成过程 本节课重点内容是能正确地画出直角坐标系，这一点，学生只要仔细不会有多大困难，而对用有序实数 对表示一点的位置感到陌生，为此，首先从学生已知知识：数轴上的点与实数的对应关系出发给出“坐标 ”一词，再从学生的生活实践经验，找出王敏的坐位这一事 实给出座位图，找出第三列第六行．就在 这个图的基础上去掉单位、列、行，再加上两条数轴，学生就很容易理解确定王敏的座位要用两个数（列，行），来引出直角坐标系的雏形，再把这个实际问题迁移到数学上来，建立直角坐标系也就迎刃而解．同时也就解决了 为什么平面上点的位置必须用一对有序实数对表示这一难点．这样学生思路清楚，理解起来很方便．整 节课都是在教师指导下学生自己完成的． J （四）总结、扩展 首先通过教师提问，总结出本节课都学习了哪些内容，在此基础上让学生总结出 x 轴， y 轴上点的坐标 的规律， 让学生思考各象限点的坐标的特征． 四、布置作业 1.课本习题 13.1 第 1 ，2 题 2．阅读教材，归纳总结所学习的知识点． 五、板书设计 平面直角坐标系（二） 一、素质教育目标 （一）知识教学点：1．了解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系；2．使学生进一步熟悉根据坐 标确定点和由点求得坐标的方法；3．理解各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征，会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵 坐标的符号；4．理解点关于 x 轴、 y 轴、原点的对称点的意义，并能求出任一点的 对称点的坐标． （二）能力训练点：1．让学生运用数形结合的思想方法解决有关问题；2．通过平面内的点与有序实数对之间的关系的教学，向学生进行对应的思想的教育；3．培养学生的观察、分析、概括、总结的能力及动手能力． 二、教学重点、难点和疑点 本节课的教学重点是掌握平面内不同位置的点的坐标的特点．因为根据点的坐标的特点就可以确定点，而确定点是研究函数图象的基础． 本节课的教学难点是总结出不同位置的点的坐标的特点及求一个点的对称点的方法．因为这需要学生通 过观察，分析才能加以归纳、 总结． 三、教学步骤 （一）明确目标 上节课我们学习了用有序实数对可以表示坐标平面内的点，那么有序实数对与坐标平面内的点有什么关系、坐标平面内的点的坐标有何特点呢？这就是我们这节课要研究的问题． J （二）整体感知： 提问：1．在直角坐标系中，找出下列各点：A（2，3）；B（3，2）；C（-2， 3）；D（2，-3）；E（-2，-3）． 由一名同学在黑板上板演，其他同学在纸上完成，把同学完成的试卷收上来，然后看黑板上的解答，纠正其中的问题． 2．在坐标平面内不同的点的坐标是否相同？不同的坐标所表示的点是否相同？那么点的坐标是用什么表示的？（答：有序实数对）你认为坐标平面内的任意一点与有序实数对有什么关系？ 由学生讨论回答，若讨论时遇到困难，可以提示：数轴上的点与实数有什么关系？ 教师加以总结：对于坐标平面内的任意一点 A，我们可以确定它的坐标，并且这个坐标是唯一的，这就 说， 对于坐标平面内任意一点，都有唯一的一 对有序实数对和它对应；反过来， 给出任意一对有序实数对，例如（3， 2），我们都可以在坐标平面内描出一个点，这 个点也是唯一的， 这又说 明， 对于任意一对有序实数对，在坐 标平面内都有唯一的点与它对应． 综上所述，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．（板书） 提问：能否在图中指出各象限？（用练习中已画的平面直角坐标系图） 由一名同学上黑板指出，其他同学给予评价．然后出示例题：（出示幻灯） 例 1 指出下列各点所在的象限或坐标轴：A（-2，3）；B（1，-2）；C（-1， -2）；D（3，2）；E（-3，0）；F（0，1）． 分析：要解决这个问题，首先要画出直角坐标系，描出给出的各点；然后，按照图中所描的点的位置，给 出答案． 提问：题中为什么要写出“所在的象限或坐标轴” ？明确坐 标轴上的点不属于任何象限． 由学生完成例题之后，加以评价，然后提 问：（1）坐标轴上的点的坐标有什么特征？上节课已介绍过，学生可以很容易回答． （2）各象限中点的坐标有何特征？（若学生对此问法不太清楚，可换一种问法：坐标是由一对有序实数组成的，这对有序实数因为点的位置在不同的象限各是什么符号的数？） 学生讨论之后，结合直角坐标系图， 让学生独立完成下面的图表．（出示幻灯）根据点所在象限，用“+． -”号填表： 提问：任一点 P（x，y） （1）如果 P（x，y）在第二象限，那么 x，y 分别是正数还是负数？ （2）如果 x＞0，y＜0，P（x，y）在第几象限？（向学生介绍这是一种表示不定点的方法） J 通过这两个问题，使学生能从正、反两个方面理解坐标平面内点的坐标的特征． 例 2 求出点 P（-3，-2）关于 x 轴、 y 轴、原点的 对称点． 用提问的方式加以分析： （1）关于 x 轴、y 轴对称是哪种对称？应怎样通过画图作出对称点？ （2）关于原点对称是哪种对称？应怎样通过画图作出对称点？ （这两个问题若学生有遗忘，可适当加以提示．） （3）你能否在练习本上画出这些点？ 可由教师或一名同学在黑板上画图，其他同学在练习本上完成，然后看黑板上的图加以评价、总结、提出问题：（用 P1，P2，P3表示点 P 关于 x 轴，y 轴，原点的对称点） （1）能否说出 P1，P2，P3的坐 标？你的根据是什么？（根据 轴对称及中心对称的定义） （2）观察这三点的坐标与 P 点的坐标有怎样的关系？（把这四点的坐标都写在图上以便观察） 先让学生讨论，然后加以总结：对于 P（x，y）． （1）关于 x 轴对称，则横坐标不变， 纵坐标变为相反数，即 P1（x，-y）； （2）关于 y 轴对称，则纵坐标不变，横坐 标变为相反数，即 P2（-x，y）； （3）关于原点对称，则横、纵坐标都变为相反数，即 P3（-x，-y）； 提问：点 P（x，-y）关于 x 轴、y 轴、原点的对称点的坐标各是什么？ 这个问题是直接运用上面总结而得的规律，使学生能正确地运用该规律，并理解之． 练习：p.10 页第 1，2 题，互相评价． P．11 中 4 题 。