第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4、 掌握基本初等函数的性质及其图形5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系6、 掌握极限的性质及四则运算法则.7、 了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8、 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质.教学难点：1、 分段函数的建立与性质;2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类;5、 闭区间上连续函数性质的应用。
§1 1 映射与函数 一、集合 1 集合概念 集合(简称集）： 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A， B， C…等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 a是集合M的元素表示为aÎM 集合的表示： 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b， c, d, e, f, g} 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A={a1， a2, × × ×， an}, M={x ｜ x具有性质P }. 例如M=｛(x, y)| x， y为实数， x2+y2=1} 几个数集: N表示所有自然数构成的集合， 称为自然数集 N=｛0， 1， 2， × × ×, n, × × ×｝ N+={1， 2， × × ×， n, × × ×} R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合， 称为整数集 Z={× × ×, -n, × × ×, —2， —1， 0， 1, 2， × × ×, n， × × ×｝。
Q表示所有有理数构成的集合， 称为有理数集 子集： 若xÎA, 则必有xÎB， 则称A是B的子集, 记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA . 如果集合A与集合B互为子集， AÌB且BÌA， 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AÌB且A¹B, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如， NZQR 不含任何元素的集合称为空集, 记作Æ 规定空集是任何集合的子集 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AÈB， 即 AÈB={x|xÎA或xÎB｝ 设A、B是两个集合， 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AÇB, 即 AÇB={x|xÎA且xÎB}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简称差）， 记作A\B， 即 A\B={x|xÎA且xÏB｝ 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行， 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集， 记作AC。
集合运算的法则： 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AÈB=BÈA, AÇB=BÇA; (2）结合律 （AÈB）ÈC=AÈ(BÈC)， (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)； (3）分配律 (AÈB)ÇC=（AÇC）È(BÇC), (AÇB）ÈC=(AÈC）Ç（BÈC）; (4)对偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB）C=AC ÈBC (AÈB）C=AC ÇBC的证明: xÎ(AÈB）CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC 直积（笛卡儿乘积）： 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x， 在集合B中任意取一个元素y， 组成一个有序对(x, y)， 把这样的有序对作为新元素， 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积， 记为A´B, 即 A´B=｛（x, y)|xÎA且yÎB}. 例如， R´R=｛(x， y)｜ xÎR且yÎR }即为xOy面上全体点的集合， R´R常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间： 设a
类似地有 ［a， b] = {x ｜ a £x£b }称为闭区间, [a， b） = {x ｜ a£x〈b }、（a, b］ = ｛x ｜ a
需要注意的问题： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素： 集合X, 即定义域D f=X； 集合Y， 即值域的范围: R f ÌY； 对应法则f， 使对每个xÎX, 有唯一确定的y=f(x)与之对应. (2)对每个xÎX， 元素x的像y是唯一的； 而对每个yÎR f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集， 即R f ÌY， 不一定R f=Y . 例1设f : R®R， 对每个xÎR, f（x)=x2. 显然， f是一个映射, f的定义域D f=R， 值域R f ={y｜y³0｝, 它是R的一个真子集 对于R f 中的元素y， 除y=0外， 它的原像不是唯一的 如y=4的原像就有x=2和x=—2两个. 例2设X=｛(x， y)｜x2+y2=1｝， Y={（x, 0）｜|x｜£1}， f : X ®Y， 对每个(x， y)ÎX, 有唯一确定的(x， 0）ÎY与之对应. 显然f是一个映射, f的定义域D f=X， 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1， 1]上. (3) f :®［-1, 1］, 对每个xÎ， f（x）=sin x 。
f是一个映射， 定义域D f =， 值域R f =[-1, 1］ 满射、单射和双射： 设f是从集合X到集合Y的映射, 若R f =Y， 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x 1¹x 2, 它们的像f（x 1)¹f（x 2）， 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射， 又是满射， 则称f为一一映射（或双射） 上述三例各是什么映射? 2 逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射， 则由定义， 对每个yÎR f , 有唯一的xÎX, 适合f（x）=y, 于是， 我们可定义一个从R f 到X的新映射g, 即 g : R f ®X， 对每个yÎR f ， 规定g(y)=x， 这x满足f（x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f —1, 其定义域=R f ， 值域=X 按上述定义, 只有单射才存在逆映射 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g : X®Y 1， f ： Y 2®Z, 其中Y 1ÌY 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xÎX映射成f［g(x)]ÎZ 。
显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g， 即 f o g： X ®Z， （f o g)（x)=f[g(x)］, xÎX 应注意的问题: 映射g和f构成复合映射的条件是： g的值域R g必须包含在f的定义域内， R gÌD f 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道， 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同. 例4 设有映射g ： R®[—1, 1］, 对每个xÎR， g（x)=sin x， 映射f : ［-1, 1]®[0, 1］, 对每个uÎ[-1, 1］, 则映射g和f构成复映射f o g： R®［0, 1], 对每个xÎR, 有 三、函数 1. 函数概念 定义 设数集DÌR, 则称映射f ： D ®R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=f(x）, xÎD, 其中x称为自变量， y称为因变量， D称为定义域, 记作D f， 即D f=D。
应注意的问题： 记号f和f（x）的含义是有区别的， 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则， 而后者表示与自变量x对应的函数值 但为了叙述方便, 习惯上。