补 2009．9 中学数学教与学(南l中砖夺) MATI-ISTEACtlINGANDLEARNINGINHIGHSCHOOL 形法’’ 立体几何解题中的转化策略 简素宁 【作者简介】简素宁，乐清市第三中学． 【原文出处】《成才之路》(哈尔滨)，2009．5中．彩F一彩G 在复习空间几何体——柱体、锥体、台体和球的 鉴． 概念，与学生一起做了一道高考题：(2003全国)一 一、正四面体补成正方体 个四面体的所有棱长都为√ ，四个顶点在同一个球 例1一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶 面上．则此球的表面积为——． 与学生共同用传统法解决完后，有一位同学提 出这样一种解法(本想作为后续课中的内容)—— 补成正方体的方法．该生的思想是这样的：如图1， 该四面体是一个正四面体，可以认为是嵌在正方体 中的．可以连接正方体六个面的对角线成为一个正 四面体，这样很容易就求得正方体的边长是1，这样 正方体的体对角线是 ，而球的直径是 ，所求的表 面积是3,rr． 学生通过比较传统法，要由棱长为 算出外接 球半径(或直径)，运算量大，而通过自己对正方体 的了解进行合情推理，构造正方体，会使问题直观 化，从而达到解决的目的． 正(长)方体是一个很基本的多面体，所含线 线、线面、面面的位置关系的内容十分丰富，通过构 造正(长)方体解题，思路自然，方法简捷．“补形法” 就是指将一个几何体补成另一个几何体(如常见的 长方体、正方体、平行六面体等)，然船在所补成的几 何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其 计算的方法．究其本质就是一种图形的等价转化思 想，巧用补形法，对解决常见立体问题，常能起到化 繁为简、一目了然的作用．通过学生课后解题的反 馈，笔者特意找了些补形的资料，结合近几年的高考 题，来说明这种方法的常见运用，希望对学生有所借 点在同一个球面上，则此球的表面积为( ) A．3"rr B．4叮T c．3 盯 D．6'rr(2003年全国新课程卷) 补成正方体不但便于求距离，在一些复杂几何 体中，比如两异面直线所成角，有时有些同学很难通 过平移找到平面角，若能根据题目条件构造正方体 来解，便能“豁然开朗”了． 例如，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相 等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线 EF与SA所成的角等于( )度 A．90 B．60 C．45 D．30 通过正方体很容易发现，EF与SA所成角即为 侧棱与面对角线所成的角，故选c． 变式1：(浙江卷14)如图2，已知球0点面上四 点 、B、c、D，DA J_平面ABC，AB上BC，DA=AB=BC =√ ，则球0点体积等于 因为AD、AB、BC是三条两两垂直相等的棱，所 以可以补成以三棱为侧棱的正方体，CD就是所要找 的体对角线，即外接球的直径。
若AD、AB、BC的长 度不相等但垂直可以补成长方体，由此归纳出第二 种补法： 二、三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长(正)方 体 有时为避免一些烦琐的运算(由于运算量太大， ·57· 生堂麴 熬与堂(壹士堡查) ～ THSTEACHINGA肋三 RIVINGIN 钾SCHOOL 有些学生不愿选择空间向量)，可以通过补形达到事 半功倍的效果： 例2如图3，在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD中，LABC=90SA上面ABCD，SA=AB= 1 BC=1，AD=．-q - 二 (1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD 与面SBA所成二面角的正切值2001年全国高考 题) As／．~U C C 图3 解延长AD到 ，使DE=AD，以AE、AB、AS为 棱构造棱长为1的正方体(如图3)，则有 (1)Vs一÷ —cz=÷× =÷ (2)延长CD、BA相交于F，连接SF，已知SF∥ AB ，且SF为面SAB和SCD的交线．又由已知易证 AB 上面SBC．所以SF上面SBC，所以LBSC为面 SCD与面SBA所成二面角的平面角在RtASBC 中，SB= ，从而得t．dn曰_sc= = 1= A- 变式2：(2008海南、宁夏理科卷)某几何体的一条棱 长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长 为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条 棱的投影分别是长为。
和b的线段，则o+b的最大 值为( ) 2 B 2 C．4 2 解结合长方体的对角线在三个面的投影来理 解计算如图4，设长方体的高宽高分别为m、n、k， 由题意得， = ， ：√ j ： 1，,／1+k =n，,／1 4-m =b，所以(0 一1)+(b 一 1)=6= o 十b =8，所以(0+b) =口 +2ab+b = 8+2ab≤4当且仅当o=b=2时取等号答案：c ”11t4 由于三个侧面(投射面)两两垂直，故可以把它 补成一个长方体，这样三条投影就成了长方体的面 ·58· 对角线，这面棱长就成了体对角线，一个抽象的三视 图问题与我们再熟悉不过的长方体建立了等价关 系，从而为找到它们的数量关系奠定了基础，再利用 不等式的基本知识，问题就迎刃而解了．我们把这个 三视图背景的问题总结为： 三、三条侧面互相垂直的三棱锥补成长方体 变式3：四面体SABC的三组对棱分别相等，且 依次为2 、 13、5，则四面体的体积是一 解：如图5，将四面体SABC补形成一个长方体， 设长方体的长、宽、高分别为o、b、c，则有： r0 +b =20 rn =16 rn=4 j b +c ：13 J b ：4 j?b=2 【 +c ：25 【C2：9 【c=3 1 所以 = 方体一4 棱锥=o6c一4×÷× 1 1 ÷06c=w-abc=8． 0 图5 分析：四面体的三组对棱相等，联想到长方体中 相对的面的面对角线长度相等，从而构造长方体． 四、对棱长相等的三棱锥补成长方体 有时一些课本典型例题的结论对我们的计算有 很好的辅助作用，比如： 例3(选修2—1)如图6(下页)，一个结晶体 的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条 棱长都相等，且它们彼此的夹角都是6o。
那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关 系?教材用向量法计算得到：lAC l- IA雪l，即此 平六面体的对角线的长是棱长的 倍．在解决下面 问题中我们可以这样处理：一个正四面体ABCD的 所有棱长都是n，求顶点 到平面BCD的距离 一若把正四面体ABCD补在上题中的平行 六面体，可以准确得到距离是! ． ．) 又如：(选修2—1)如图7(下页)，一块均匀的 正三角形面的钢板的质量为500 ，在它的顶点处 分别受力F 、 ，每个力与同它相邻的三角形的 两边之间的夹角都是60且I l=I l-I l_ 200kg．这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动? 图6 这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板? 中学数学教与学(青 煞奄 THS 别CHINGANDZ Rh"INGINHIGHSCHOOL 除了用教材中的向量法之外，我们还可以把三 个力平移到共起点，补成一个正四面体，它们的合力 就是三个分力的 倍，所以我们只要设J l-J l_ I I呈习为 ，则需瓜>500，解得 > ，因此，要提 √6 起这块钢板，I F I，I I，I I均要大于5 00kg．因此， √b 在正四面体的距离计算中，我们经常有这样的补形 法： 五、三棱锥补成正(长)方体的传统解法 例4(2004年北京春季高考题)如图8，四棱 锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直 于底面ABCD，SB=43． 图8 图9 (1)求证BC上SC；(2)求面ASD与面BSC所成 二面角的大小；(3)设棱鲋的中点为肘，求异面直 线DM与SB所成角的大小． 解(1)因为SD上底面ABCD，且ABCD为正方 形，所以可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体 A B。
CS—ABCD，如图9，由正方形ABCD的边长为 1，且SB=√3知SD：1，故长方体A BC S—ABCD是 棱长为1的正方体． (1)在正方体A B CS—ABCD中，显然有BC上 平面SDC，所以BC上Se (2)在正方体A B，CS—ABCD中，面ASD与面 BSC所成的二面角就是面ADSA 与面BCSA，所成的 二面角．而 CSD即为其平面角，又 CSD=45所 以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为45． (3)在正方体A，BS—ABCD中，M即是面对 角线A．D的中点，所以DM J-SA．又 是SB在面 ASD上的射影，由三垂线定理得DM上SB，所以异面 直线DM与SB所成的角为90． 与空间向量法比较，可以避免一些拖沓冗长的 计算． 六、三棱锥补成正(长)方体的空间向量解法 2006年高考数学试题江西卷的立体几何题是 这样的： 例5如图l0，在三棱锥A —BCD中，侧面ABD、ACD是全 等的直角三角形，AD是公共的 一 B 斜边，且AD= ，BD=CD=1， 另一个侧面是正三角形． D (1)求证：AD_LBC；(2)求二 图‘0 面角B—AC—D的大小； (3)在直线AC上是否存在一点 ，使ED与面 BCD成30。
角?若存在，确定E的位置；若不存在， 说明理由． 分析：因为题目条件中有“ABD、ACD是全等的 直角三角形…‘AD= ，BD=CD=1”“正三角形”等 条件，所以我们容易联想到正方体，从而构造出如图 所示的棱长为1的正方体，因此以下的解法也就再 自然不过了． 解(1)如图1l(下页)，构造棱长为1的正方 体．以D为原点，以DB为 轴，DC为Y轴建立空间 直角坐标系．则曰(1，0，0)，C(0，1，0)，A(1，1，1)， BC=(一1，1，0)，DA：(1，1，1)，所以BC·DA=0， 所以曰C上AD． (2)设平面ABC的法向量为1 1, =( ，Y， )，则由 I1,．赢=一 +)，=0所以Y= ；同理由 上赢 ． ： + ：0， ：一 ．所 ：( ， ，一 )．不妨取 ．=(1，1，一1)，同理可求得平面 ACD的一个法向量为 =(1，0，一1)，所以COS0， Y=1，所以雎=( ，1， )．又平面BCD的一个法向 量为g=(0，0，1)，要使ED与面BCD成30角，由图 可知只要=60所以COS= =— …s60一 1，所以2 = 丽 丽一一 v／ ，所以 = ，所以l I_ =1．故 段AC上存在点 ，当CE=1时，ED与面BCD成30。
角．本题用综合法(传统方法)来解难度较大，甚感 “山重水复疑无路”，若能根据题目条件构造正方体 来解，便能“柳暗花明又一村”了． 又如2008广东卷2O题也有类似的思想． 如图12所示，四棱锥P—ABCD的底面是半径为 (上接第5O页) 好题目的难度，不出偏题、怪题． 2．完善网络，突出主干 立体几何的复习不能“胡子眉毛一把抓”，要在 完善知识网络的过程中，突出这门学科的主干，这样 才能以简驭繁，应对高考的变化．如转化思想是统帅 立体几何的数学思想，所以要让学生牢固树立以下 的思维脉络：证面面垂直(平行)转化为证线面垂直 (平行)，再转化为证线线垂直(平行)；又如，在归纳 求空间线线、线面、面面所成角的方法时，要总结出 以下的三类常用方法：(1)直接法；(2)转移法；(3) 向量法． 3．重视空间想象力，提高图形处理能力 空间想象力是处理空间图形的基础，空间图形 ·60· 尺的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，／__．ABD： 60／_BDC=45PD垂直底面 ABCD，PD=2 R，E、F分别是 船、CD上的点，且历PE= DF，过点 E作曰c的平行线交于G(1)求 肋与平面ABP所成角0的正弦 值；(2)证明：△EFG是直角三角 3)当 =÷时，／~EFG的 C 图l2 面积． 分析：只要直五棱台(或部分也可)就可用空间 向量法解决出三个问题了．(略解) 补形法的基本思想即是图形间的等价转化，是 一种化归的思想，本文通过几种常见的补形法的介 绍，旨在让学生面对形形色色的几何体问题，多一种 解。