Hilbert的?几何基础?的五组公理之一： 1.欧氏几何的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与直线平行 任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的 2郭氏几何的平行公理：过一条直线之外的点，有且只有一条直线和的直线平行编辑本段平行公理的推论 概念：平行于同一条直线的两条直线平行 证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行 那么b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾 所以假使不成立 所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出： 错角相等，两直线平行 同旁角互补，两直线平行 因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c 〔平行公理的推论〕编辑本段平行线性质定理1.两直线平行，同位角相等2.两直线平行，错角相等3.两直线平行，同旁角互补 4.两线平行并且不在一条直线上的直线平行线： 1. 平行线的定义在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线AB平行于CD ，AB∥CD 2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与直线平行 3. 平行公理的推论〔平行的传递性〕：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∵a∥c，c ∥b ∴a∥b 平行线的判定 １. 两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
２. 两条直线被第三条所截，如果错角相等，那么这两条直线平行 简单说成：错角相等，两直线平行 3 . 两条直线被第三条所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁角互补，两直线平行平行线的性质 1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等２. 两条平行线被地三条直线所截，同旁角互补. 简单说成：两直线平行，同旁角互补 3 . 两条平行线被第三条直线所截，错角相等．简单说成：两直线平行，错角相等两个角的数量关系两直线的位置关系 垂直于同一直线的两条直线互相平行平行线间的距离，处处相等如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补平行线双绞线的两端采用相同的线序制作出来的称为平行线，使用不同线序制作的称为交叉线七年级下学期数学知识梳第五章相交线与平行线一、知识结构图相交线相交线垂线同位角、错角、同旁角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移二、知识定义1.邻补角：有公共顶点且有一条公共边的，他们的另一边互为反向延长线，两个角是邻补角同角的补角相等2. 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
对顶角相等3. 垂线：垂直是相交的特殊情形两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，焦点为垂足垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与直线垂直性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短4.同位角、错角、同旁角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做错角同旁角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁角5.平行线：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，错角相等性质3：两直线平行，同旁角互补平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行判定2：错角相等，两直线平行判定3：同旁角相等，两直线平行6.命题：判断一件事情的语句叫命题命题可以写成“如果.....那么.....‘命题由题设和结论组成题设是事项，结论是由事项推迟的事项7.平移：在平面，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移判断平移的两个条件：1 形状大小不变2 对应点之间的线段平行且相等对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
第六章1.有序数对的定义有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对.记作〔a，b〕2. 平面直角坐标系平面直角坐标系的定义及其基本元素平面上有公共原点且相互垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.①水平方向的数轴称为x轴或横轴②竖直方向的数轴称为y轴或纵轴.③x轴、y轴统称为坐标轴④公共原点称为坐标原点.⑤象限的概念：两坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限.〔图形〕3. 坐标：〔1、3〕只能在平面有一点，这点P我们就用〔1、3〕表示，这样的有序实数对叫做点的坐标.4. 象限：各象限点的坐标符号的特点象限2〔-，+〕象限1〔+，+〕象限3〔-，-〕象限4〔+，-〕第一象限的点的坐标为〔+、+〕第二象限的点的坐标为〔-、+〕第三象限的点的坐标为〔-、-〕第四象限的点的坐标为〔+、-〕坐标轴上的点不在任何一个象限.5. 规律拓展延伸①点P〔a，b〕到x轴的距离为│b│，到y轴距离为│a│，到原点距离为；②点P〔a，b〕：假设点P在x轴上 -----a为任意实数，b=0； P在y轴上 ----- a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上----a=b；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上----a=－b；③A〔x1，y1〕，B〔x1，y2〕： A，B关于x轴对称------x1=x2，y1=－y2； A、B关于y轴对称------ x1=－x2，y1=y2；A，B关于原点对称------x1=－x2，y1=－y2．在平面直角坐标系中，P〔x，y〕向右〔或左〕平移a个单位 --对应点〔x＋a，y〕〔或x－a，y〕； P〔x，y〕向上〔或下〕平移b个单位 --对应点〔x，y＋b〕〔或x，y－b〕.第七章 三角形1. 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.3. 三角形的表示：三角形用符号“△〞表示，读做“三角形〞. 如图：图中AB、BC、CA是三角形的边，有时也用a，b，c表示；点A、B、C是三角形的顶点；∠A、∠B、∠C是三角形的角；三角形ABC记作“△ABC〞，读做“三角形ABC〞.1.三角形的边：三角形的两边之和大于第三边〔多用于判断〕 a-b0〕2. 三角形的高，中线和角平分线三角形的高：由三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间线段，叫做这个三角形的高.三角形的高及其有关结论1.画出三角形ABC的三条高. 三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.3.因为S＝BC×AD=AC×BE=AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线.1. 在三角形ABC中画出所有中线.2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形，并交于一点.3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以S△ACF=S△BCF=S△ABD=S△ADC=S△ABE=S△BCE.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.、三角形角平分线及其有关结论1.画出△ABC所有的角平分线. 【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形部，并相交于一点.容直接考的很少，但是经常与其他知识综合考查，像什么作高求面积，利用角平分线求角度，利用中线求线段等等.多边形角和镶嵌3.三角形的稳定性四与三角形有关的角 1 三角形角和定理：三角形角和等于180°. 三角形角和反映了三角形三个角之间的关系，是解决任意三角形关于角的证明和计算问题的重要依据之一，利用它可以解决以下问题： 〔1〕计算角度的大小，以及利用求出的角度来判断三角形的形状和证明直线垂直.解决这样的问题常常需要设未知数列方程求解. 〔2〕证明角相等. 〔3〕证明角的和、差、倍、分关系. 〔4〕证明角之间的不等关系. 2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.1.三角形的外角必须满足三个条件： 〔1〕顶点与三角形的一个角的顶点重合〔即共顶点〕； 〔2〕一边是三角形的一边〔即共边〕； 〔3〕另一边是三角形一边的延长线〔即共线〕. 如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上. 2.三角形外角的个数一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角. 如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角. 3.三角形的外角与相邻的角是邻补角的关系，与不相邻的角是不等的关系.如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系. 4.三角形的外角和是360°. 如下列图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°. 又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°. 3.三角形外角的性质 〔1〕三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和. 〔2〕三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角. 4.常用辅助线的做法： 〔1〕说明角的关系时，如果没有现存的外角可以使用，通常要延长某个角的一边. 〔2〕在进行角度计算时，为了能使用三角形角和定理和外角性质，通常要构造三角形，这时需要连结某些线段或延长某些线段. 多边形及其角和1.多边形的有关概念 〔1〕在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 〔2〕多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的角. 〔3〕多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 〔4〕连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.〔5〕凸四边形2.正多边形：各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.3.从n边形一个顶点出发,有n-3条对角线，它们把n边形分为n-2个三角形3.n边形角和：n边形的角和为〔n－2〕×180°.4.多边形外角和：多边形的外角和等于360°.对于n边形的角和公式：n边形的角和＝〔n－2〕×180°，其。