§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为 截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面一、 平面立体的截交线和断面如图 4-16a 所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面 P 与三棱锥的截交线是一个三角形 ⅠⅡⅢ 如图 4-16b 中的黑色图形所示，已知三棱锥 SABC 和正垂的截平面 P，求作截交线的三面投影作图过程如图 4-16b 中的红色图形所示：（1）在棱线 SA、SB、SC 的正面投影 s＇ a＇ 、s＇ b＇ 、s＇ c＇ 与截平面 P 的有积聚性的迹线 Pv的相交处，作出它们的交点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 的正面投影 1＇ 、2＇ 、3＇ ，与 Pv相重合的直线 1＇ 2＇ 3＇ ，即为截交线△ ⅠⅡⅢ 的正面投影2）由 1＇ 、2＇ 、3＇ 引投影连线，分别与 sa、sb、sc 和 s″ a″ 、s″ b″ 、s″ c″ 交出1、2、3 和 1″ 、2″ 、3″ 连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ ⅠⅡⅢ 的水平投影△123 和侧面投影△1″ 2″ 3″ 。
由于三个棱面的水平投影和棱面 SAB、SCA 的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影 12、23、31 和 1″ 2″ 、3″ 1″ 也都可见，画粗实线；棱面SBC 的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影 2″ 3″ 也不可见，画细虚线如图 4-17a 中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面 P 切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影因为截交线的各边是正垂面 P 与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在 Pv上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影从已知的正面投影可以直观地看出，断面的水平投影和侧面投影都是可见的作图过程如图 4-17a 中的红色图形所示：（1）在五棱柱正面投影右侧的适当地位画表示后棱面有积聚性的侧面投影的竖直线，用水平投影中从后棱面向前的距离 y 和 y1，按侧面投影与水平投影宽相等和前后对应，以及五棱柱顶面、底面的正面投影和侧面投影应分别在同一水平线上的原则，就可由已知的正面投影和水平投影作出完整的五棱柱的侧面投影。
2）在截交线已知的正面投影上，标注出棱线 AA0、BB 0、EE 0与截平面 P 的交点F、G、J 的正面投影 f＇ 、g＇ 、j＇ ，标注截平面 P 与顶面的交线 HI 的正面投影 h＇ i＇ ，HI是正垂线，它的正面投影积聚成一点，这就标明了截交线五边形 FGHIJ 的正面投影f＇ g＇ h＇ i＇ j＇ 在 aa0、bb 0、ee 0上分别标出 f、g、j，由 h＇ i＇ 作出 hi，于是就画出了截交线五边形FGHIJ 的水平投影 fghij，也就补全了五棱柱被切割后的水平投影由 f＇ 、g＇ 、j＇ 分别在 a″ a0″ 、b″ b0″ 、e″ e0″ 上作出 f″ 、g″ 、j″ ；由于点 I 在顶边边侧垂线 ED 上，所以可直接在积聚成一点的 e″ d″ 上标注出 i″ ；在顶面的侧面投影上，从 i″ 向前量取水平投影中 h 在 i 前的距离 y2，就可作出 h″ 连 j″ 与 f″ 、f″ 与g″ 、g″ 与 h″ ，h″ i″ 、i″ j″ 分别积聚在顶面、后棱面的侧面投影上，便画出截交线五边形 FGHIJ 的侧面投影 f″ g″ h″ i″ k″ 因为棱线 AA0在点 F 之上的一段已被切割掉，而棱线 CC0仍是全部存在的，所以在侧面投影中应将 f″ 以上的粗实线改为细虚线，仅表示侧面投影不可见的棱线 CC0的上部的一段；同时还应将 h″ 以前和 g″ 以上的五棱柱被被切割掉的侧面投影的轮廓线擦去或改为细双点划线，也就作出了五棱柱被切割后的侧面投影。
二、 平面立体的缺口在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的交线，并画出截平面之间的交线，就可作出具有缺口的平面立体的投影图如 4-18a 中的黑色图形所示，已知一个缺口三棱锥的正面投影，要补全它的水平投影和侧面投影从正面投影中可见：缺口是由一个水平面和一个正垂面切割三棱锥而形成的，左棱线 SA 有一段被切割掉，在正面投影中画成细双点划线，而在水平投影和侧面投影中，则于未经作图确定 SA 被切割掉的一段棱线的投影之前，暂时先将 sa 和 s″ a″ 都画成细双点画线可以想象：因为水平截平面平行于底面，所以它与前、后棱面的交线 DE、DF 分别平行于底边 AB、AC，正垂截平面分别与前、后棱面交于直线 GE、GF由于两个截平面都垂直于正面，所以它们的交线 EF 一定是正垂线想象的结果如图 4-18a 右下角的立体图所示画出这些交线的投影，也就画出了这个缺口的投影作图过程如图 4-18a 中的红色图形所示：（1）因为这两个截平面都垂直于正面，所以 d＇ e＇ 、d＇ f＇ 和 g＇ e＇ 、g＇ f＇ 都分别重合在它们的有积聚性的正面投影上，e＇ f＇ 则位于它们的有积聚性的正面投影的交点处。
于是在正面投影中标注出这些交线的投影2）由 d＇ 在 sa 上作出 d由 d 作 de∥ab、df∥ac，再分别由 e＇ 、 f＇ 在 de、df 上作出 e、f由 d＇ e＇ 、de 作出 d″ e″ ，由 d＇ f＇ 、df 作出 d″ f″ ，它们都重合在水平截平面的积聚成直线的侧面投影上3）由 g＇ 分别在 sa、s″ a″ 上作出 g、g″ ，并分别与 e、f 和 e″ 、f″ 连成 ge、gf和 g″ e″ 、g″ f″ 4）连 e 和 f，由于 ef 被三个棱面 SAB、SBC、SCA 的水平投影所遮而不可见，画成细虚线；e″ f″ 则重合在水平截平面的有积聚性的侧面投影上5）用粗实线加深在棱线 SA 上实际存在的 SG、DA 段的水平投影 sg、da 和侧面投影 s″ g″ 、d″ a″ ；原来用细双点划线表示的 GD 段的三面投影 g＇ d＇ 、gd、g″ d″ 实际上是不存在的，不应画出由此就补全了缺口三棱锥的水平投影和侧面投影，作图结果如图 4-18b 所示三、 两平面立体相贯两个或多个立体相交（也称为两个或多个立体相贯）形成的形状，称为相贯体，立体表面的交线，称为相贯线。
相贯体是一个整体，将相贯体看作两个或多个立体相交，仅是在对相贯体各部分的形状和相对位置进行分析时的一种假设两立体相贯有两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯三种情况由于在§4-1 中已述及本书对曲面立体只着重讲述常见的回转体，所以后两种情况将分别在§4-3、§4-4 中讲述下面将通过两平面立体相贯的一个例图讲述相贯线、相贯体的投影及其画法两平面立体的相贯线通常是一组或两组闭合的空间折线，在特殊情况下可能是不闭合的（例如当两立体具有连在一起的公共的平面表面时） ，也可能是平面上的闭合折线，即平面多边形（例如一个立体只在另一立体的一个棱面上全部穿进或穿出时） ；折线的每一折线段都是两立体各一个平面表面的交线，每一个折点都是一个立体的棱线或底边与另一个立体的交点因此，只要分别作出一个立体的诸平面表面与另一个立体的平面表面的交线，就可连接成两立体的相贯线图 4-19 是一个正垂的三棱柱和铅垂的六棱柱相交形成的相贯体、相贯线的三面投影和立体图在立体图中，用红色的图形和大写字母表示了这个相贯体上的相贯线从图 4-19 中可见：这个相贯体可假设为正垂三棱柱从前方全部穿入铅垂六棱柱，穿入后就不穿出来了，所以这两个立体的表面有一组相贯线，就是顺次将三棱柱的左棱面与六棱柱的左前棱面、前棱面的交线 AB、BC，三棱柱的右棱面与六棱柱的前棱面、右前棱面的交线 CD、DE，三棱柱的下棱面与六棱柱的右前、前、左前棱面的交线 EF、FG、GA，连接而成闭合的空间折线 ABCDEFGA。
相贯体和相贯线投影的画法是：按铅垂六棱柱和正垂三棱柱的投影图画法和它们之间的相对位置（它们有共同的左右对称面，三棱柱下棱面在六棱柱底面之上的距离，三棱柱端面在六棱柱前棱面之前的距离） ，先用黑色图形画出这两个棱柱的正面投影和水平投影，再用红色图形按正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上，且保持前后方向的宽度相等和前后对应，由已作出的正面投影和水平投影画出这两个棱柱的侧面投影然后，用红色图形讲述和作出两立体的相贯线最后，确定在画相贯体和相贯线过程中，前阶段未能完全确定的暂时先用细双点画线表达的棱线的部分投影，从而完成这个相贯体的投影图读者应该注意的是：由于相贯体是一个整体，看作两个立体相交，仅是一种假设，所以不应画出一个立体穿入另一个立体内部的轮廓线，只要想到很多机械零件都是用熔化后的钢铁浇铸成毛坯后，再经机械加工而成的，是一个整体，不是两个立体相交，因而若一立体的轮廓线穿入或穿出另一立体，只能画到穿入或穿出的贯穿点为止，即只能画到相贯线的折点为止，实际上一立体穿入另一立体的轮廓线是不存在的，所以在求作相贯线和相贯体投影前画出的两立体的投影图中，每个立体的轮廓线能确定穿入或穿出另一立体的贯穿点时，就画到贯穿点为止，不画穿进另一立体内部的轮廓线；不能确定时，暂先画成用细双点画线表示的假想投影线，待作出相贯线后，完成相贯体的投影图时，再明确应画出哪些轮廓线的投影，擦去或保留表示实际上不存在的穿入另一立体内部的细双点画线假想投影，于是在图 4-19a 的侧面投影中，在六棱柱的互相重合的左前、右前棱线于三棱柱的下棱线之上，分别保留了一小段用细双点画线表示的实际上不存在的穿入三棱柱内部的重合的棱线段的假想投影 b″ g″ 和 d″ f″ ，其他各处的棱线的投影都是按相贯体的实际情况画出的。
如图 4-19a 所示，当画出了正垂三棱柱和铅垂六棱柱的三面投影后，由于三棱柱的三个棱面的正面投影都有积聚性，六棱柱的左前、前、右前棱面的水平投影也都有积聚性，且按上述对相贯线的分析，相贯线就位于这些棱面上，便可先在正面投影中按分析的顺序，于三棱柱的左、右、下棱面的有积聚性的正面投影上标注出相贯线诸折线段 AB 和 BC、CD和 DE、EF 和 FG 和 GA 的正面投影 a＇ b＇ 和 b＇ c＇ 、c＇ d＇ 和 d＇ e＇ ，e＇ f＇ 和 f＇ g＇ 和g＇ a＇ ，再按相贯线各折线段的正面投影，在六棱柱的左前、前、右前棱面的有积聚性的水平投影上标出相贯线诸折线段 AB 和 GA、BC 和 CD 和 FC、DE 和 EF 的水平投影 ab 和 ga、bc和 cd 和 fg、de 和 ef，然后由 a＇ b＇ 和 ab、b＇ c＇ 和 bc、c＇ d＇ 和 cd、d＇ e＇ 和 de、e＇ f＇和 ef，f＇ g＇ 和 fg、 g＇ a＇ 和 ga 分别按投影关系作出a″ b″ 、b″ c″ 、c″ d″ 、 d″ e″ 、e″ f″ 、f″ g″ 、g″ a″ ，由于相贯线和相贯体都左右对称，所以侧面投影可见的 a″ b″ 与不可见的 e″ d″ 互相重合，b″ c″ 与 d″ c″ 、g″ a″ 与f″ e″ 分别积聚于六棱柱前棱面、三棱柱下棱面的有积聚性的、可见的侧面投影上，也都分别互相重合，都画粗实线，又由于三棱柱的下棱面是水平面，六棱柱的前棱面是正平面，它们的交线 GF 是侧垂线，GF 的侧面投影积聚成一点 g″ f″ 。
于是就全部画出了相贯线的三面投影仍如图 4-19a 所示，当作出了相贯线的三面投影后，。