word高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式〔或组〕即得原函数的定义域例1 求函数的定义域解：要使函数有意义，如此必须满足由①解得 或③由②解得 或④③和④求交集得且或x>5故所求函数的定义域为例2 求函数的定义域解：要使函数有意义，如此必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共局部，得故函数的定义域为评注：③和④怎样求公共局部？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况1） 的定义域，求的定义域2） 其解法是：的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域例3 的定义域为［－2，2］，求的定义域解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是〔2〕的定义域，求f(x)的定义域其解法是：的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域例4 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域解：因为即函数f(x)的定义域是三、逆向型即所给函数的定义域求解析式中参数的取值X围。
特别是对于定义域为R，求参数的X围问题通常是转化为恒成立问题来解决例5 函数的定义域为R某某数m的取值X围分析：函数的定义域为R，明确，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进展讨论解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题例6 函数的定义域是R，某某数k的取值X围解：要使函数有意义，如此必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数①当k≠0时，恒成立，解得；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立综上k的取值X围是四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域解：设矩形一边为x，如此另一边长为于是可得矩形面积由问题的实际意义，知函数的定义域应满足故所求函数的解析式为，定义域为〔0，〕例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，假如矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域〔0，〕五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论例9 的定义域为［0，1］，求函数的定义域解：因为的定义域为［0，1］，即故函数的定义域为如下不等式组的解集：，即即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比拟两个区间左、右端点，知〔1〕当时，F〔x〕的定义域为；〔2〕当时，F〔x〕的定义域为；〔3〕当或时，上述两区间的交集为空集，此时F〔x〕不能构成函数六、隐含型有些问题从外表上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集因此，求函数的单调区间，必须先求定义域例10 求函数的单调区间解：由，即，解得即函数y的定义域为〔－1，3〕函数是由函数复合而成的对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到 例1. 求函数的值域解：∵∴显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。
解：∵故函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一 例3. 求函数的值域解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法 例4. 求函数的值域解：原函数化为关于x的一元二次方程〔1〕当时，解得：〔2〕当y=1时，，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域解：两边平方整理得：〔1〕∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由 求出的X围可能比y的实际X围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域∵代入方程〔1〕解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，假如原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域 例6. 求函数值域解：由原函数式可得：如此其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域解：令如此在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用 例11. 求函数的值域解：令，如此∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域解：因即故可令∴∵故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域解：原函数可变形为：可令，如此有当时，当时，而此时有意义故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域解：令，如此由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为 例15. 求函数的值域。
解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假如运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目 例16. 求函数的值域解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P〔x〕到定点A〔2〕，间的距离之和由上图可知，当点P段AB上时，当点P段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域解：将函数变形为：上式可看成定点A〔3，2〕到点P〔x，0〕的距离与定点到点的距离之差即：由图可知：〔1〕当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，如此构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：〔2〕当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，如此要使A，B两点在x轴的同侧如：例17的A，B两点坐标分别为：〔3，2〕，，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为〔3，2〕，，在x轴的同侧。
9. 不等式法利用根本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧 例19. 求函数的值域解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域解：当且仅当，即当时，等号成立由可得：故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的故两个变量中，假如知道一个变量X围，就可以求另一个变量X围 例21. 求函数的值域解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域解：令，如此〔1〕当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以〔2〕当t=0时，y=0综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域解：令，如此∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。