公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差数列公式 Sn = a1+an2×n = a1×n + n(n-1)2×d n = an-a1d + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )6. 立方差公式: a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n28. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 = nn+1(2n+1)6 10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)211. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1) = 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n =13 n(n+1)(n+2)与因数相关的知识 1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。
2. 因数和：设A＝2a×3b×5c 那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）3. 因数积：设A＝2a×3b×5c 那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外)4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c 那么 1a + 1b + 1c = 因数和A1757137循环小数747： 17＝0.142857 27＝0.2857145478272 37＝0.42857167 47＝0.571428 57＝0.71428551312131013913413313213113 67＝0.85714213： 113＝0.076923 213＝0.153846835164329670 313＝0.230769 513＝0.384615 413＝0.307692 613＝0.4615387131113813813 913＝0.692307 713＝0.538461 1013＝0.769230 813＝0.615384 1213＝0.923076 1113＝0.846153排列组合进阶※ 排列是先选再排，组合是只选不排。
Cnm=Cnn-m(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)Cn0=Cnn＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）Cn0+Cn1+Cn2+……+Cnn=2n(每个元素有选中和不选中两种情况)常用方法：1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也要排序，然后两个数乘积即可3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个空位再选多少个元素去插空即可4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解余数a ÷ b = m ......n (0≤n＜b)推论1： m为(a ÷ b)的整数部分,而n为(a ÷ b)的小数部分的b倍推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。
推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因余数性质：1. 周期性2. 余数的和等于和的余数3 余数的差等于差的余数 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼4. 余数的积等于积的余数物不知数（中国剩余定理）1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余数，即为最小的被除数 例：A÷3余1， A÷5余1，问A最小多少？ 解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.2. 加同补：如果一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小公倍数，再减去补数，即为最小的被除数 例：A÷7余6 A÷6余5，A÷5余4， A÷4余3，求A最小多少？ 解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解 例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40 分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。
例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？ 解：设A÷7＝K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4 当K＝4时，满足即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K同余定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B 对于模m同余表示为 A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m ”推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n B÷m＝Y…….n 那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m） 那么，A≡C（mod m）；推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m） 那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）推论4： 若A≡B（mod m），那么An≡Bn（mod m）分数比较大小手段一：十字相乘法 ba dc b·aca d·acc bc ad 即bc代表左边，ad代表右边手段二：作差 A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B手段三：作商 AB＞1 A＞B AB＜1 A＜B手段四：取倒数 1A＞1B A＜B 1A＜1B A＞B 手段五：化小数手段六：基准法 真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大 假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小在1013，1417之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则1417＞1013在1310，1714之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则1310＞1714手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）在56，1419之间比较大小，先将56变为2530，分子与分母差都为5，真分数，则56＞1419手段八：糖水法 （糖水的甜度＝糖糖+水） 模型一：ba＜b+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二：ba＜b+da+c＜dc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间) 模型三：ba=mbma＜mb+ndma+nc＜ndnc=dc ba＜mb+ndma+nc＜dc有趣的巧数1. 33……3×33……3＝11……1088……89 n个3 n个3 n－1个1 n－1个8 推论：6666×6666＝44435556，9999×9999＝99980001，3333×6666＝22217778 3333×9999＝33326667，6666×9999＝666533342. 33……3×33……34＝11……122……2 n个3 n－1个3 n个1 n个2 推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝333366663. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝32×223999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝23×25111111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31 111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×33×37 2016＝25×3×74. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。
如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算 如：782＝802-（802－782）＝6400-（80+78）×2＝6400-316＝6084 762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝57766. 123456789×8+9＝9876543217. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9） K个98. （13 + 17 + 115）×（17 + 115 + 123）－（13 + 17 + 115 + 123）×（17 + 115）＝13×123 两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为： （有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙） 则结果为头尾相乘9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝13×n×n+1×(n+2) 1×a1 + 2×a2 +……+ n×an ＝16×n×(n+1)×(2an+a1),a1,a2……an为等差数列。