经济函数补充部分 (1)

1一、常用的经济函数一、常用的经济函数 1、总成本函数、总收入函数、总利润函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和常用表示，C 可以看作是产量的函数，记作x( )CC x总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本指在一定时期内不随产量变F动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本是指随产品产量变V 动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等 固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量的函数，所以，在长期生产中，支出都是可变成本，x( )( )C xFV x此时实际应用中，产量为正数，所以总成本函数是产量的单调增加函数，常0F xx 用以下初等函数来表示：（1）线性函数 , 其中为常数.Cabx0b （2）二次函数,其中为常数.2Cabxcx0,0cb（3）指数函数 , 其中为常数.axCbe,0a b 平均成本：每个单位产品的成本，即 .( )C xCx总收益函数总收益函数是指生产者出售一定产品数量（）所得到的全部收入，常用表示，即xR( )RR x其中为销售量. 显然，，即未出售商品时，总收益为０.x0(0)0QRR若已知需求函数，则总收益的为 ( ) p1( )( )RR QP pQ平均收益：，若单位产品的销售价格为，则，且.( )R xRxpRp xRp总利润函数总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用表示，即L( )( )( )L xR xC x例 某工厂生产某产品，每日最多生产 100 个单位。

日固定成本为 130 元，生产每一 个单位产品的可变成本为 6 元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为及平均单位成本函数为，因为总成本为固定成本与可CC变成本之和，据题意有( )1306(0100) 130( )6(0100)CC xxxCC xxx例 设某商店以每件元的价格出售商品，若顾客一次购买 50 件以上，则超出部分每a 件优惠 10%，试将一次成交的销售收入表示为销售量的函数Rx2解 由题意，一次售出 50 件以内的收入为元，而售出 50 件以上是，收入为Rax50(50)10%Raxa 所以一次成交的销售收入是销售量的分段函数Rx(050) 500.9 (50)(50)axxRaa xx2、、 需求函数与供给函数需求函数与供给函数 需求量需求量指的是在一定时间内，消费者对某商品愿意而且有支付能力购买的商品数量 经济活动的主要目的是在于满足人们的需求，经济理论的主要任务之一就是分析消费及 由此产生的需求但需求量不等于实际购买量，消费者对商品的需求受多种因素影响，例 如，季节、收入、人口分布、价格、等等。

其中影响的主要因素是商品的价格，所以，我们经常将需求量看作价格的函数，记为dQp( )ddp通常假设需求函数是单调减少的，需求函数的反函数1( )pQp0Q 在经济学中也称为需求函数，有时称为价格函数. 一般说来，降价使需求量增加，价格上涨需求量反而会减少，即需求函数是价格的单调p 减少函数常用以下简单的初等函数来表示：（1）线性函数 ，其中为常数.dQapb ,0a b （2）指数函数 ，其中为常数.bp dQae,0a b （3）幂函数 ，其中为常数.a dQbp,0a b 例 设某商品的需求函数线性函数 ，其中为常数，求时Qapb ,0a b 0p 的需求量和时的价格0Q 解 当时，，表示价格为零时，消费者对某商品的需求量为，这也是0p Qbb市场对该商品的饱和需求量当时，为最大销售价格，表示价格上涨到时，0Q bpab a无人愿意购买该产品 供给量供给量是指在一定时期内生产者愿意生产并可向市场提供出售的商品量，供给价格是指生产者为提供一定量商品愿意接受的价格，将供给量也看作价格的函数，记为sQp( )ssp一般说来，价格上涨刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加，价格下跌使3供给量减少，即供给函数是价格（）的单调增加函数。

常用以下简单的初等函数来表示：p（1）线性函数 ，其中为常数sQapb0a （2）指数函数 ，其中为常数供给量也受多种因素影响，bp sQae,0a b （3）幂函数 ，其中为常数a sQbp,0a b 当市场上需求量 与供给量一致时，即，商品的数量称为均衡数量，dQsQds记为，商品的价格称为均衡价格，记为例如，由线性需求和供给函数构成的市场eQep均衡模型可以写成(0,0)dQabP ab(0,0)sQcdP cd  ds解方程，可得均衡价格和均衡数量：epeQeacpbdeadbcQbd由于＞0，,因此有 .eQ0bdadbc当市场价格高于时，需求量减少而供给量增加，反之，当市场价格低于时，需0p0p求量增加而供给量减少市场价格的调节就是利用供需均衡来实现的 经济学中常见的还有生产函数（生产中的投入与产出关系） 、消费函数（国民消费总 额与国民生产总值即国民收入之间的关系） 、投资函数（投资与银行利率之间的关系）等等例 已知某商品的需求函数和供给函数分别为14 1.5,54dsQpQp  求该商品的均衡价格。

解 由均衡条件可知ds14 1.554 195.5pp p   所以均衡价格价格为 03.45p 例 已知某产品的价格为元，需求函数为，成本函数为元，p505Qp502CQ4求产量为多少时利润最大？最大利润是多少？QL解 因为需求函数为，，所以收益函数为505Qp105Qp 2 105QRp 利润函数228505 1(20)305QLRC 因此，时利润最大，且最大利润是 30 元20Q 二、二、 边际边际由导数定义知，函数的导数是函数的变华率在经济分析中，经济函数的变化率 （因变量对自变量的导数） ，通常称为“边际”. 在经济问题中，经常用到年产量的变化率、成本的平均变化率等概念设函数在点处可导，则在区域内的平均变化率为，瞬时变化率为( )yf x0x00(,)x xxy x 00 00()()()lim xf xxf xfxx 定义：设函数在点处可导，则称为的边际函数，在( )yf xx( )fx( )f x( )fx处的导数值为边际函数值0x0()fx由微分的概念可知，当自变量的改变量很小时有，但在经济应用中，最小的xydy 改变量可以是一个单位，即，所以有1x 00()()ydyfxxfx  这说明在点处当产生一个单位的改变时，函数近似改变了( )f x0xxx( )yf x个单位。

0()fx（1）边际成本设总成本函数为，则称其导数为产量为时的( )C Q 0()( )( )lim xC C QC  Q边际成本，记做MC即边际成本函数为.000()()lim QC C QdCMCd 5由于，当时，，因此产量为时的边际成本的经济0()CC 1Q0()CC Q0Q意义为：近似等于当产品的产量生产了个单位时，再生产一个单位产品时所需增( )C QQ加的成本数 显然，边际成本与固定成本无关平均成本的导数为边际平均成本2( )( )( )( )C C QC QC Q（2）边际收入设总收益函数为，则称其导数为销售量为( )R Q 0()( )( )lim QR R QR  时的边际成本，记作，即.QMR000()()lim QR R QdRMRd 其经济含义是：假定已销量为个单位，再销售一个单位产品，所增加的收益为0Q.0()R Q（3）边际利润设总利润函数，对的导数称为边际利润，( )LL QLQ 0()( )( )lim QL L QL  记作，即边际利润函数为.ML000()()lim QL L QdLMLd 销量为时的边际利润的经济意义为：假定已销量为个单位，再销售一个单位产品，0Q0Q所增加的利润为。

0()L Q一般情况下，总利润等于总收益函数与总成本函数之差，即( )L Q( )R Q( )C Q=—，边际利润为，即边际利润等于边际收益( )L Q( )R Q( )C Q( )( )( )L QR QC Q与边际成本之差例例 1 1 设某单位每月生产的产品固定成本为元，生产个单位产品的变动成010000C Q本为元，若每单位产品的售价为 40 元，求边际成本；边际2( )0.0110V Q收益及边际利润；并求边际利润为零时的产量. 解解 由题设知：总成本函数2 0( )( )0.011010000C QV QC6总收益函数( )40R QP 总利润函数2( )( )( )400.011010000L QR QC 20.013010000 边际成本 ( )0.0210MCC 边际收益 ( )40MRR Q边际利润 ( )0.0230MLL  令，得即每月产量为 1500 个单位时，边际利( )0L Q0.02300,1500.润为零这说明，当月产量为 1500 个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润. 例 设某厂每月生产产品的固定成本为 1000 元生产个单位产品的可变成本为x（元） ，若每个产品的售价为 30 元，求边际成本、边际利润及边际利润为零20.0110xx时的产量。

解 因为总成本函数为2( )0.01101000C xxx所以，边际函数为( )0.0210C xx又收益，所以利润函数( )30R xx2( )( )( )300.01101000L xR xC xxxx所以( )0.0220L xx 在经济函数中，总体、边际和平均三者的关系是很重要的研究对象例 设总成本函数为，求它的总成本函数、平均成本和边际平32( )420C xxxx均成本函数解 因为 2( )3820MCC xxx2( )420C xACxxx而边际平均成本函数7( )24C xxx一般由可分析经济活动如和都是开口,MCAC23820MCxx2420ACxx向上的二次抛物线，且相交于点，当时，，而边际平均(2,16)2x 16,16MCAC成本函数此时为零 （如图）在交点的左边曲线位于曲线的下方，在交点的右边MCAC曲线位于曲线的上方，利用这种“边际—平均”关系，有助于企业安排生产，如MCAC交点的左边的情况说明生产力还没有充分发挥，有潜力可挖 三、弹性三、弹性 1、函数的弹性定义 设函数在点可导，且，则极限( )yf xx(0)x ( )0f x 00limlim( )( )xxy xyxyfxxyxf x x   称为函数在点处的弹性，记作： 或或.( )f xxEy Ex( )Ef x Exyx即( )( ) ( )( )Eyfxxdf xxExf xf xdx函数在处的弹性，记做 或 ( )f x0x 0x xEy Ex 0yxx x由于 1( )(ln( ))( )( )1(ln )( )fx dxdf xxf xfxd。