第五讲第五讲 四维空间四维空间n n维空间概念，在维空间概念，在1818世纪随着分析力学世纪随着分析力学 的发展而有所前进在达朗贝尔的发展而有所前进在达朗贝尔. .欧拉和拉欧拉和拉 格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的 概念，达朗贝尔在概念，达朗贝尔在《《百科全书百科全书》》关于维数关于维数 的条目中提议把时间想象为第四维在的条目中提议把时间想象为第四维在1919 世纪高于三维的几何学还是被拒绝的世纪高于三维的几何学还是被拒绝的 麦比乌斯（麦比乌斯（karlkarl augustaugust mobiusmobius 1790-18681790-1868）在其）在其《《重心的计算重心的计算》》中指出，中指出， 在三维空间中两个互为镜像的图形是不能在三维空间中两个互为镜像的图形是不能 重叠的，而在四维空间中却能叠合起来重叠的，而在四维空间中却能叠合起来 但后来他又说：这样的四维空间难于想象，但后来他又说：这样的四维空间难于想象， 所以叠合是不可能的这种情况的出现是所以叠合是不可能的这种情况的出现是 由于人们把几何空间与自然空间完全等同由于人们把几何空间与自然空间完全等同 看待的结果。
以至直到看待的结果以至直到18601860年，库摩尔年，库摩尔 （（ernsternst eduardeduard kummerkummer 1810-18931810-1893）还嘲）还嘲 弄四维几何学但是，随着数学家逐渐引弄四维几何学但是，随着数学家逐渐引 进一些没有或很少有直接物理意义的概念，进一些没有或很少有直接物理意义的概念， 例如虚数，数学家们才学会了摆脱例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是数学是 真实现象的描述真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的观念，逐渐走上纯观念 的研究方式虚数曾今是很令人费解的，的研究方式虚数曾今是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性把虚数作因为它在自然界中没有实在性把虚数作 为直线上的一个定向距离，把复数当作平为直线上的一个定向距离，把复数当作平 面上的一个点或向量，这种解释为后来的面上的一个点或向量，这种解释为后来的 四元素，非欧几里得几何学，几何学中的四元素，非欧几里得几何学，几何学中的 复元素，复元素，n n维几何学以及各种稀奇古怪的函维几何学以及各种稀奇古怪的函 数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接 为物理学服务这一观念迎来了为物理学服务这一观念迎来了n n维几何学。
维几何学18441844年格拉斯曼在四元数的启发下，年格拉斯曼在四元数的启发下， 作了更大的推广，发表作了更大的推广，发表《《线性扩张线性扩张》》，， 18621862年又将其修订为年又将其修订为《《扩张论扩张论》》他第一 次涉及一般的次涉及一般的n n维几何的概念，他在维几何的概念，他在18481848年年 的一篇文章中说：的一篇文章中说：我的扩张的演算建立了空间理论的抽我的扩张的演算建立了空间理论的抽 象基础，即它脱离了一切空间的直观，成象基础，即它脱离了一切空间的直观，成 为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物 理）空间作特殊应用时才构成几何学理）空间作特殊应用时才构成几何学然而扩张演算中的定理并不单单是把然而扩张演算中的定理并不单单是把 几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常 一般的重要性，因为普通几何受（物理）一般的重要性，因为普通几何受（物理） 空间的限制格拉斯曼强调，几何学可以空间的限制格拉斯曼强调，几何学可以 物理应用发展纯智力的研究几何学从此物理应用发展纯智力的研究几何学从此 开始割断了与物理学的联系而独自向前发开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。
展经过众多的学者的研究，遂于经过众多的学者的研究，遂于18501850年年 以后，以后，n n维几何学逐渐被数学界接受维几何学逐渐被数学界接受 一般认为：四维空间是一个时空的概一般认为：四维空间是一个时空的概 念简单来说，任何具有四维的空间都可念简单来说，任何具有四维的空间都可 以被称为以被称为“四维空间四维空间”不过，日常生活所不过，日常生活所 提及的提及的“四维空间四维空间”，大多数都是指爱因斯，大多数都是指爱因斯 坦在他的坦在他的《《广义相对论广义相对论》》和和《《狭义相对论狭义相对论》》 中提及的中提及的“四维时空四维时空”概念根据爱因斯坦概念根据爱因斯坦 的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成 时空的关系，是在空间的架构上比普通三时空的关系，是在空间的架构上比普通三 维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条 时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的 轴根据爱因斯坦相对论所说：我们生活根据爱因斯坦相对论所说：我们生活 中所面对的三维空间加上时间构成所谓四中所面对的三维空间加上时间构成所谓四 维空间。
由于我们在地球上所感觉到的时维空间由于我们在地球上所感觉到的时 间很慢，所以不会明显的感觉到四维空间间很慢，所以不会明显的感觉到四维空间 的存在，但一旦登上宇宙飞船或到达宇宙的存在，但一旦登上宇宙飞船或到达宇宙 之中，使本身所在参照系的速度开始变快之中，使本身所在参照系的速度开始变快 或开始接近光速时，我们能对比的找到时或开始接近光速时，我们能对比的找到时 间的变化如果你在时速接近光速的飞船间的变化如果你在时速接近光速的飞船里航行，你的生命会比在地球上的人要长里航行，你的生命会比在地球上的人要长 很多这里有一种势场所在，物质的能量很多这里有一种势场所在，物质的能量 会随着速度的改变而改变所以时间的变会随着速度的改变而改变所以时间的变 化及对比是以物质的速度为参照系的这化及对比是以物质的速度为参照系的这 就是时间为什么是四维空间的要素之一的就是时间为什么是四维空间的要素之一的 原因一、一、直线运动直线运动 假设一个物体在平面上做匀速直线运假设一个物体在平面上做匀速直线运 动，其轨迹是一条直线动，其轨迹是一条直线L L从直线L L无法判无法判 断这个物体是否匀速运动但研究一个运断这个物体是否匀速运动。
但研究一个运 动，时间是非常重要的量，我们希望知道动，时间是非常重要的量，我们希望知道 物体何时在何地物体何时在何地 如果物体如果物体P P在平面上做匀速直线运动，在平面上做匀速直线运动， 则可以得到则可以得到P P点的坐标随时间点的坐标随时间T T变化的函数变化的函数 关系假设当关系假设当T=0T=0时，时，P P的在坐标原点，则的在坐标原点，则P P 点坐标为：点坐标为：x=at,y=btx=at,y=bt , ,其中其中a,ba,b为常数 如果物体如果物体P P在平面上做变速直线运动，在平面上做变速直线运动， 这种函数关系这种函数关系x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)很复杂 现在物体运动的平面外再增加一个表现在物体运动的平面外再增加一个表 示时间的坐标轴示时间的坐标轴T T轴，轴，T T轴也过坐标原点，轴也过坐标原点， 且与且与X X轴，轴，Y Y轴都垂直轴都垂直当当P P点做匀速直线运动，可得到一条经点做匀速直线运动，可得到一条经 过原点的直线过原点的直线L,LL,L上每一点上每一点Q(x,y,z)Q(x,y,z)表示表示P P 点在时刻点在时刻t t位于原来位于原来XYXY平面上的平面上的(x,y)(x,y)处。
处 即从直线即从直线L L上的每一点向平面上的每一点向平面XYXY作垂线，所作垂线，所 有的垂足就是有的垂足就是L L在在XYXY面上的投影此投影就面上的投影此投影就 是是P P点运动的实际轨迹点运动的实际轨迹L L越陡，说明运动越陡，说明运动 速度比较慢；速度比较慢；L L越平说明运动速度比较快越平说明运动速度比较快 如果物体在平面如果物体在平面XYXY上做变速直线运动，上做变速直线运动， 可得一条空间曲线可得一条空间曲线L,LL,L在在XYXY平面上的投影仍平面上的投影仍 是一条直线因为是一条直线因为P P点的运动轨迹仍是直线，点的运动轨迹仍是直线， 但由于但由于L L是曲线，说明物体的运动速度是随是曲线，说明物体的运动速度是随 时间的变化而变化时间的变化而变化 上例是对平面上的运动来说的，当增上例是对平面上的运动来说的，当增 加了时间轴后，把二维空间变为三维空间加了时间轴后，把二维空间变为三维空间 如果原来物体就是在三维空间运动，运动如果原来物体就是在三维空间运动，运动 的轨迹是三维空间的一条曲线的轨迹是三维空间的一条曲线l l，当增加时，当增加时 间轴以后，三维空间变为四维空间，于是间轴以后，三维空间变为四维空间，于是 得到四维空间中的一条曲线得到四维空间中的一条曲线L L。
L L上一点上一点 Q(x,y,z,t)Q(x,y,z,t)就表示物体在时刻就表示物体在时刻t t位于原来空位于原来空 间中的点（间中的点（x,y,zx,y,z）处四维空间中的曲线）处四维空间中的曲线 L L在原来三维空间中的投影就是运动轨迹在原来三维空间中的投影就是运动轨迹l,l, 但但L L却能反映出物体的运动对时间的依赖关却能反映出物体的运动对时间的依赖关系 上述方法得到的四维空间是对时间和上述方法得到的四维空间是对时间和 空间综合起来考虑，可以称为空间综合起来考虑，可以称为““时空间时空间”” 其中时间轴就是科幻小说中的时间隧道，其中时间轴就是科幻小说中的时间隧道， 不过我们讨论的时间是单向的，只能不停不过我们讨论的时间是单向的，只能不停 地向前，不能停止也不能倒退而科幻小地向前，不能停止也不能倒退而科幻小 说中的时间隧道是可进可退的，这就是科说中的时间隧道是可进可退的，这就是科 学与科幻的区别学与科幻的区别 二、二、四维欧氏空间及直角坐标系四维欧氏空间及直角坐标系 借助射影几何的观点，在三维空间中借助射影几何的观点，在三维空间中 一条直线与一个平面至少相交于一点，两一条直线与一个平面至少相交于一点，两 个平面至少相交于一条直线。
但两条直线个平面至少相交于一条直线但两条直线 可以相交与一点，也可以没有交点（异面）可以相交与一点，也可以没有交点（异面） 列表表示：列表表示：---------- 平面平面 直线直线 平面平面 直线直线 点点 直线直线 点点 不定不定在四维空间中，除了直线、平面以外在四维空间中，除了直线、平面以外 还有许多三维空间为了方便，将这些三还有许多三维空间为了方便，将这些三 维空间称为维空间称为““三维面三维面””，平面称为，平面称为““二维二维面面””，直线还叫直线于是在四维空间有：，直线还叫直线于是在四维空间有：—————— 三维面三维面 二维面二维面 直线直线 三维面三维面 二维面二维面 直线直线 点点 二维面二维面 直线直线 点点 不定不定 直线直线 点点 不定不定 不定不定由此还可得出：在四维空间中，三个由此还可得出：在四维空间中，三个 三维面至少交于一条直线，四个三维面至三维面至少交于一条直线，四个三维面至 少交于一点。
少交于一点 四维欧氏空间中的笛卡尔坐标系由相四维欧氏空间中的笛卡尔坐标系由相 交于一点Ｏ的四条两两垂直的直线构成交于一点Ｏ的四条两。