卫星测控模型

1卫星或飞船测控模型摘要本文对通过测控站分布问题进行了简化，建立了数学模型我们对卫星或 飞船如何运行，如何使测控站合理分布，以及如何使测控站数最少等问题进行 了分析讨论，最终计算出最少的测控站数 对于问题一，我们先得出每一个测控站的最大测控区域对应的圆心角与卫星或飞船离地高度的关系式，因为所)93sinarcsin931802HRR o oo（＝有测控站与运行轨道共面且是个圆周，则对卫星或飞船进行全程跟踪测控最少为个测控站 但是对于不同的轨道上的卫星或飞船，则有不同的]360[o N情况为此我们分别对同步卫星、远距离的卫星或飞船、近地轨道的卫星或飞 船进行分类讨论所得结果如下表： 序号出现的情况所需要测控站个数 1离地 36000km 同步卫星12远距离超过 7651.3km 的卫星3 3近地轨道 200km 的卫星或飞 船16对于问题二，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角， 所以卫星或飞船的运行轨道只在以球心为中心，半径为 R+H 的球面，去掉上下 两个高度为（H+R）(1-sin)的球冠剩余的部分  方法一，首先，我们采用测控点测控区域重叠的方式，以圆的内接正方形 的边为重叠部分的交线，所以得出重叠后能完全监控测控区域所对应的圆心角)2tan22arctan(21从而得出需要布控监控点的纬线数及纬度，最后得出总监控点数为（i=1.2…） iiiN 11cos2 方法二，我们经过公式推导，得出经度差的表达式：；3 2RHRA假设卫星或飞船沿固定的轨道运转 n1后，卫星或飞船又回到了原来的出发点上，即满足条件。

此时，测控站所要测控的范围，并且所需要的测Ann212控站数也减少了，其测控范围即为一条近似于正弦函数曲线图像再运用简化 思想把曲线拉直成为直线 l以测控站所对应的测控圆的直径 d 截取最后，得到最少所需的测控站数为  )93sinarcsin87sin(HRRNo o关键词：测控面，经度差， 排布2一．问题重述卫星或飞船和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发 射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星 或飞船和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控 测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角 3 度的 范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度 以上的空域请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下： 1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多 少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？ 2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离 地面高度为 H 的球面 S 上运行考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中 相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞 船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？ 3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分 析这些测控站点对该卫星或飞船所能测控的范围。

二．问题分析对于问题一，因为所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，所以卫星或 飞船相对于地球的运行轨道是一个以地心为圆心，以地球半径 R 与卫星或飞船 离地高度 H 的和为半径的圆；而每个测控站的测控范围是与地切平面夹角 3 度 以上的空域，所以每个测控站的测控范围相对与卫星或飞船的运行轨道是一段 弧，我们利用以上条件构造出一个三角形，利用正弦定理，得出测控弧所对应 的圆心角，最后得出至少所需的测控站 对于问题二：由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角 a， 所以卫星或飞船的运行轨道只在北纬 a 南纬 a 之间，所以所有测控站的测控范 围之和应等于 北纬 a 南纬 a 之间的地区由于地球自转，所以卫星或飞船在运 行过程中相继两圈有经度差△A三．模型假设1 地球是一个球体 2 卫星或飞船做匀速圆周运动 3 不考虑卫星或飞船发射和降落的情况 4 不考虑其他天体对卫星万有引力的影响 5 不考虑空气对卫星或飞船的阻碍作用3四．符号说明O为地心C为测控站所在地点β为测控弧所对应的圆心角 Ｒ为地球半径 Ｈ为卫星或飞船离地高度n1为卫星或飞船沿固定的轨道运转的圈数n2Ａ回到Ｂ0所绕地球转的圈数（可以取任意的自然数） △Ａ为卫星或飞船运行过程中相继两圈经度差α为卫星或飞船轨道平面与赤道平面的夹角l为卫星或飞船轨道的周长m为卫星或飞船的质量 Ｍ为地球的质量 Ｇ为引力常量g为重力常量ω为地球自转的角速度d为测控站在卫星或飞船轨道所在球面上的测控直径N为所需的测控站数五．模型建立与求解5.15.1 建立建立问题一的模型5.1.15.1.1 情形一情形一：不考虑卫星或飞船发射的过程，假设卫星或飞船直接飞到同步 卫星的轨道上，因为同步卫星运转的角速度与地球自转的角速度相同，所以相 对于地球，同步卫星没有发生运动。

所以在同步卫星下设一个测控站就可以全 程跟踪测控， 即 N＝15.1.25.1.2 情形二：所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况：因为卫星或 飞船绕地球运行所需的向心力是由地球对卫星或飞船的万有引力所提供的，地 球的卫星或飞船做圆周运动都是以地心为圆心，如下图 1 所示（为卫星或飞船 飞行轨道的面） ，地心为 O，在有测控点 C，其测控范围与飞行轨道的交点为 D，在三角形 COD 中，因为每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度以上的空域，由图 1 易得：∠OCD＝+＝，OC 为地球半径 R，OD 为地球半径o90o3o93R 与离地高度 H 的和， 即：OD＝H+R4图 1首先，在三角形 OCD 中，运用正弦定理，求出：（1）HRRarcOCDsin因为三角形内角的和为 180 度，所以：（2）)180(2OCDo由式（1）和（2）得高度 H 与测控弧所对的圆心角 β 的关系式：)sinarcsin--1802HROCDROCDo（＝（3）HRR o o93sinarcsin2-174＝由模型分析可知，所以问题一的测控总角为 360 度由此可得测控站数至少 为：5（4） 2N当远大于时,的近似值为HRoo 17493sinarcsinlim HRRH那么，至少的测控站数为N＝3 o360N5.1.35.1.3 情形三：当卫星或飞船在近地轨道上运行时，由资料可知，卫星或飞船 飞行的轨道的高度为 H＝200km由上推导公式：o360N可得：N=16 5.25.2 建立问题二的模型建立问题二的模型 5.2.15.2.1 模型二模型二 卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角。

轨道的范围是：与地球同心半径为（R+H）的球面去掉上、下两个高度为的球冠剩下的区域该区)sin1)(( HR域对应与地球南纬到北纬之间区域，所以只需要安排测控点使所有的测控点的测控范 围覆盖该区域，并使测控点最少测控站测控的圆心角为)93sinarcsin93(2360HRR o oo因为每个测控点的测控区域为一个球冠表面，为了能测完整个卫星或飞船的飞行轨道，采 用测控点测控区域部分重叠的方式，又因为圆内接四边形为正方形时面积最大，所以重叠 部分的交线为圆内接正方形的边，如图 2 所示：6图 2为能完全测控区域对应的圆心角我们采用在一条或多条同一纬)2tan22arctan(21度线上布控测控点，由确定要布控测控点的纬度线的条数 m 及度数 (i=1.2.3…) 12 i由(i=1.2.3…)可求出各条纬度线对应在卫星或飞船的飞行轨道球面上的圆的周长i(i=1.2.3…)，根据弧长公式求出重叠后正方形对应的球冠的弧长iiHRCcos)(2为所以，各条要布控的纬线上需要的测控点数为 （i=1.2.3…))(1HRl lCni i最后求出需要布控的总测控点数为innnN...21即  iiiN11cos2 以神舟七号为例，H=343km o2 .42求出 ，，m=4，，， 。

o24.31o37.2211641 nn1432 nn60N5.2.25.2.2 模型三模型三 由于模型二只是简单地考虑卫星可能飞行的区域，没有从飞行原理上分析， 因此我们对其进行改进，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的 夹角，所以卫星或飞船的运行轨道如图 3 所示：7图 3 5.2.2.15.2.2.1 对卫星对卫星或飞船相对地球的路径的讨论 当卫星或飞船转第一圈时：如图 4 所示，所设卫星或飞船从赤道与西经 180 度的交点 1 出发,因为卫星或飞船相对于地球的速度由两部分合成（地球某 一纬度的线速度和卫星或飞船的速度） ，而地球某一纬度的线速度是随纬度的升 高而减少，即卫星或飞船从 1 到 2 时，水平速度不断减少，而垂直速度不变， 从而得出卫星或飞船从 1 到 2 的路径大约下，同理，可以得出从 2 到 3；从 3 到 4 的路径但由于地球处转的响影，会产经度差即如图 4 所示卫星或飞船 转一圈从 1 到 4，而到不了东经 180 度，即 1 点图 48当卫星或飞船转第二圈时：如图 5 所示，当卫星或飞船转完第一圈后，在 4 点上，因为西经 180 度就是东经 180 度，所以 4 点可以是西经向西△A 度。

和 第一圈一样，卫星或飞船由 4 点到 5 点，与 4 点相差△A由上述可得：卫星或飞船每转一圈，其相对地球的的路径向西平移△A 当卫星或飞船转第一圈后，第二圈的起点是第一圈的起点向西平移△A 当卫星或飞船转第二圈后，第三圈的起点是第二圈的起点向西平移△A 当卫星或飞船转第三圈后，第四圈的起点是第三圈的起点向西平移△A……… ……… ………当卫星或飞船转第圈后，每+1 的起点是第圈的起点向西平移△A1n1n1n由数学归纳法可得,当卫星或飞船转第圈后，每圈的起点是第一圈的起点向1n1n西平移 ×△A.1n假设当卫星或飞船绕地球转时，卫星或飞船回到了原起点如果卫星或飞1n船向西平移 1 圈重新回到了原出发点则：121An如果卫星或飞船向西平移 2 圈重新回到了原出发点则：221An如果卫星或飞船向西平移 3 圈重新回到了原出发点则：图 59321An如果卫星或飞船向西平移 4 圈重新回到了原出发点则： 421An由数学归纳法可得,若卫星或飞船绕地球转圈重新回到了原出发点则2n212nAn（5）Ann2 125.2.2.25.2.2.2 卫星卫星或飞船可能出现的区域与测控站在Ｊ球面上的测控直径的讨论 Step1:假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的夹角为,所以卫星 或飞船到达的最高纬度为.因此卫星或飞船在北纬到南纬之间运转，如图 6 所示。

图 6 那么卫星或飞船可能出现在区域为（N,S）  Step2:计算测控站在Ｊ球面上的测控直径如图 7 所示在三角形 ABO 中运用正弦定理得o93sinsinHRR（6）HRR o93sinarcsin10图 7在三角形 ABO 中，由得oo180932（7）o872 因为直角三角形 ODB 中得（8）)(2sin2HRd由式(6)(7)(8)得（9）)93sinarcsin87sin()(2HRRHRdo oStep3:推导公式 首先我们求出卫星或飞船的轨道周长（10）)(2HRl根据卫星或飞船的向心力等于地球对卫星或飞船的万有引力得22)()(HRMmGHRmV （11）HRGMv位于赤道上的物体，其向心力由物体的重力。