每日一题079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在®AB=AC,®BA=BC,③CA=CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”•解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验.例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果ADOP是等腰三角形，求点P的坐标.图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△dop：®do=dp，®od=op，®po=pd.① 当DO=DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在0P的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)(如图1-2).② 当OD=OP=5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)(如图1-3).③ 当PO=PD时，画0D的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E(如图1-4).上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P,其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算.代数法先设点P的坐标为（x,0）,其中x>0,然后表达的三边长（的平方）.DO2=52,OP2=X2,PD2=（X—3）2+42.① 当DO=DP时，52=（x—3）2+42.解得x=6,或x=0.当x=0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在ADOP.② 当OD=OP时，52=x2.解得x=±5.当x=—5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）.③ 当PO=PD时，x2=（x—3）2+42.这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点.代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验.图1-5例❷如图2-1,直线y€--3.x,3与y、x轴相交于点A、C,动点P以1个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CO向点O移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动的图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中，APCQ的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是ZPCQ的大小，夹ZPCQ的两条边CQ=t,CP=6—t.因此APQC符合“边角第#页共4页边”的解题条件，我们只需要在ZFC0的边上取点P或Q画圆.图2-2图2-3图2-4第#页共4页第#页共4页① 如图2-2,当CP=CQ时，t=6-t,解得t€3（秒）.16_t② 如图2-3,当QP=QC时，过点Q作Q^^X^C于M,则CM=刁PC=—^.22在rAqmc中,tZPCQ€30，,CQCM第#页共4页第#页共4页③如图2-4,当PQ=PC时，过点P作PN丄EC于N,则CN=2CQ=11.22在RtMNC中,J/PCQ=30°,CP€CN化丁€冇'第#页共4页第#页共4页例❸如图3-1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A.C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0,初是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D.当△APD是等腰三角形时，求m的值.图3-1【解析】点P（0,m丿在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解.因为PC//DB,M是BC的中点，所以BD=CP=2-m.所以D（2,4-m）.于是我们可以表达出Aapd的三边长（的平方）：AD2=（4一m）2,AP2€m2+4,PD2=2+（4一2m）2.3① 当AP=AD时，（4一m）2€m2+4.解得m二—（如图3-2）.2② 当PA=PD时，m2+4€22+（4-2m）2.解得m€4（如图3-3）或m二4（不合题意，舍去）.3③ 当DA=DP时，（4—m）2€22+（4—2m）2.解得m€2（如图3-4）或m=2（不合题意，舍去）.3综上所述，当亠只0为等腰三角形时，m的值为3,4或2233图3-2图3-3图3-4第#页共4页第#页共4页其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP=AD时，AM垂直平分PD,那么△PCMs^MSA.所以竺CMMB€1~B^~21因此PC€-，2②如图3-3，当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此4-m=2m.解得m=43小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.第#页共4页。