数学模型巧妙应用于排列组合

数学模型巧妙应用于排列组合数学模型巧妙应用于排列组合（数学老师 缪树生）一、构建方程模型一、构建方程模型例 1 上一个有 10 级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解：设表示上一级台阶的步数，表示上两级台阶的步数，则xy102yx), 0, 0(Zyyx当时，，于是用 6 步走完 10 级台阶的方法为种；2x4y2 6C同理，当，4，6，8，10 时，的取值分别为 5，3，2，1，0，则上0xy台阶的方法分别为，，，，种0 5C4 7C6 8C8 9C10 10C所以上台阶的方法共有+++++种0 5C2 6C4 7C6 8C8 9C8910 10C点评：构建方程模型的关键是找到等量关系，正确列出方程二、构建立体几何模型二、构建立体几何模型例 2 如图 1 中 A，B，C，D 为海上四个岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案共有（ ） A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种解：如图 2，构建三棱锥，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接BCDA任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为种，任取三条共面棱的不同取法为 4 种，所以从六条棱中任取不共面的棱3 6C的不同取法为种，故选 C 项。

1643 6C点评：构建恰当的立体几何模型，可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快三、构建隔板模型三、构建隔板模型例 3 把 20 个相同的球全部装入编号分别为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法解：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完；③每组至少有一个元素此例有限条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向 1，2，3号三个盒子中分别装入 0，1，2 个球后，还剩余 17 个球，然后再把这 17 个球分成 3 份，每份至少一球，运用隔板法，共有种不同的分法1202 16C点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建模型的关键四、构建油箱模型四、构建油箱模型例 4 若集合，满足，则称为集合的一个分拆，1A2AAAA21),(21AAA并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合21AA ),(21AA),(12AA的不同分拆种数为 321,,aaaA 解：建立数学模型，如图 3，设集合为邮筒①，设集合为邮2ACA21AA 筒②，设集合为邮筒③，设，，三个元素为三封信，则问题转化1ACA1a2a3a为熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题，可分三步进行求 解： 第一步，投共有种投法；第二步，投共有种投法；第三步，投1a1 3C2a1 3C共有种投法。

根据分步计数原理共有种投法，即集合3a1 3C1 3C1 3C271 3C的不同分拆种数为321,,aaaA 27点评：本题属于集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁，这里通过构建邮筒模型转化求解，思路清晰、运算简练。