1997年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

1997 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 8页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第第ⅠⅠ卷卷(选择题共选择题共 65 分分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共 15 小题；第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(15)题每小题 5 分，共 65 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合 M={x|0≤xb>0,给出下列不等式：①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b) q,且， na nb1p．设,Sn为数列的前 n 项和．求．1qnnnbac nc1limnnnSS(22)（本小题满分 12 分）甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比、比例系数为 b；固定部分为 a 元．I．把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？(23)（本小题满分 12 分）如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点．I．证明 ADD1F；II．求 AE 与 D1F 所成的角；III．证明面 AED面 A1FD1；IV．设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1的体积 11EDAFV(24) (本小题满分 12 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)－x=0 的两个根 x1,x2满足 01．∵, 10 , 0pp1limnnnSS)]1)(1()11)(1([)]1)(1()11)(1([ lim111111111 nnnnnnnnnnnppqpbpqapppqpbpqap= ]1))[(1()11)(1(]1))[(1()11)(1( lim11 11111  nn nnn nn ppqpbpqappqpbpqa p) 1() 1(11 qaqap=p．(Ⅱ)pbc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0，所以，且仅当 v=c 时等号成立，)()(bccaSbvvaS也即当 v=c 时，全程运输成本 y 最小．综上知，为使全程运输成本 y 最小，当时行驶速度应为；当cbabbabv 时行驶速度应为 v=c．cbab(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分 12 分．解:(Ⅰ)∵AC1是正方体， ∴AD⊥面 DC1．又 D1F面 DC1，∴AD⊥D1F． (Ⅱ)取 AB 中点 G，连结 A1G，FG．因为 F 是 CD 的中点，所以 GF、AD 平行且相等，又 A1D1、AD 平行且相等，所以 GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设 A1G 与 AE 相交于点 H，则∠AHA1是 AE 与 D1F 所成的角，因为 E 是 BB1的中点，所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线 AE 与D1F 所成角为直角． (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F，由(Ⅱ)知 AE⊥D1F，又 AD∩AE=A，所以 D1F⊥面AED．又因为 D1F面 A1FD1，所以面 AED⊥面 A1FD1．(Ⅳ)连结 GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面 A1ED1，∴GEADEDAGEDAFVVV 111111∵AA1=2，∴正方形 ABB1A1SSGEA1232 1GBEAGASS123231 311111111GEAGEADEDAFSDAVV(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分 12 分．证明:(Ⅰ)令 F(x)=f(x)－x．因为 x1，x2是方程 f(x)－x=0 的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2)． 当 x∈(0，x1)时，由于 x10，又 a>0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0，即 x0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0．得x1－f(x)>0．由此得 f(x)