细心整理第一局部 双曲线相关学问点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的确定值等于定长〔＜|F1F2|〕的点的轨迹〔〔为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点． 要留意两点：〔1〕距离之差的确定值.〔2〕2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是始终线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：和〔a＞0，b＞0〕.这里，其中||=2c.要留意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：假如项的系数是正数，那么焦点在x轴上；假如项的系数是正数，那么焦点在y轴上.对于双曲线，a不必需大于b，因此不能像椭圆那样，通过比拟分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应留意两个问题：⑴ 正确判定焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部： (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1〕假设双曲线方程为渐近线方程：.(2)假设渐近线方程为双曲线可设为.(3)假设双曲线与有公共渐近线，可设为〔，焦点在x轴上，，焦点在y轴上〕.四．双曲线的简洁几何性质 －=1〔a＞0，b＞0〕 ⑴范围：|x|≥a，y∈R ⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1〔－a，0〕，A2〔a，0〕 ⑷渐近线： ①假设双曲线方程为渐近线方程 ②假设渐近线方程为双曲线可设为 ③假设双曲线与有公共渐近线，可设为〔，焦点在x轴上，，焦点在y轴上〕 ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤ 与双曲线共焦点的双曲线系方程是六.弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，那么＝，假设分别为A、B的纵坐标，那么＝。
其次局部 典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1. 如下图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，那么的值是〔 〕A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] ，选C练习：设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，假设|PF1|：|PF2|=3：2，那么△PF1F2的面积为 〔 〕 A． B．12 C． D．24解析： ①又②由①、②解得直角三角形，应选B题型2 求双曲线的标准方程例2 确定双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点〔3，2〕.求双曲线C的方程．解：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点〔3，2〕，∴－=1.又∵a2+b2=〔2〕2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.练习：1确定双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，那么此双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或2.确定点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，那么点的轨迹方程为A． B．C．〔x > 0〕 D．[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3 与渐近线有关的问题例3.焦点为〔0，6〕，且与双曲线有一样的渐近线的双曲线方程是 A． B． C． D．[解析]从焦点位置和具有一样的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B练习：过点〔1，3〕且渐近线为的双曲线方程是解：设所求双曲线为 点〔1，3〕代入：.代入〔1〕：即为所求.题型4 弦中点问题——设而不求法例4. 双曲线的一弦中点为〔2，1〕，那么此弦所在的直线方程为 〔 〕A. B. C. D. 解:设弦的两端分别为.那么有：.∵弦中点为〔2，1〕，∴.故直线的斜率.那么所求直线方程为：，应选C.练习：1.在双曲线上，是否存在被点M〔1，1〕平分的弦？假如存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕.那么：.∵M〔1，1〕为弦AB的中点，∴故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须留意如下两点就够了：其一：将点M〔1，1〕代入方程，发觉左式=1-＜1，故点M〔1，1〕在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不行能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中无视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的根底上应当加以验证.由这里，故方程〔2〕无实根，也就是所求直线不合条件.结论；不存在符合题设条件的直线.2. 确定双曲线,问过点A〔1，1〕能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？假设存在，求出直线的方程，假设不存在，说明理由。
解：设符合题意的直线存在，并设、 那么 ﹙1﹚得 因为A〔1，1〕为线段PQ的中点，所以 将(4)、(5)代入〔3〕得 假设，那么直线的斜率， 其方程为 得 依据,说明所求直线不存在3.确定中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由确定得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0〕，∴其重心G的坐标为(2，2〕假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 那么有，∴kl=∴l的方程为y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在 题型5 综合问题1.确定中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.〔Ⅰ〕求双曲线C的方程〔Ⅱ〕假设直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且〔其中为原点〕，求k的取值范围解〔1〕设双曲线方程为由确定得，再由，得故双曲线的方程为.〔2〕将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. ① 设，那么，由得，而.于是，即解此不等式得 ②由①+②得故的取值范围为 2.确定两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。
〔Ⅰ〕求ｋ的取值范围；〔Ⅱ〕假如且曲线E上存在点C，使求解：〔Ⅰ〕由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得，有 解得∵ 依题意得 ，整理后得∴或，但 ∴故直线的方程为设，由确定，得∴，又，∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为，到的距离为∴的面积。