曲线的切线 和瞬时速度一.曲线的切线βy=f(x )PQMΔxΔyOxyβPy=f(x )QMΔxΔyOxy如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近 一点，PQ为C的割线，PM//x轴,QM//y轴， β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割 线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时 ,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可 以有多个,甚至可以无穷多个.（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？yx +1=2QPxy-111OMDyDx例1 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的方程．切线方程为: ，即 在y=x2 +1上取点P(1,2)及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过P、Q两点作x轴与y 轴的平行线PM、MQ相交于点M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步 ： （1）求⊿y；求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率， 然后利用点斜式求切线方程.练习：课后练习：1，2一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为二、瞬时速度 ：平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地 描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的 快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；例3: 物体作自由落体运动,运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:(1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求⊿s；练习：P115课后练习：1，2（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义；小结：能求曲线在点P处切线的斜率及方程；（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度 能求某时刻的瞬时速度作业：习题3.1 1，2，6（A本）。