-32- 二位數乘法的速算—交乘簡化原則 林保平 臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 壹、前言壹、前言 去年有幸，得便到大陸旅遊一趟，有個晚上，與大家一同到夜市逛街，就在街上，發現一個攤位，不知賣些什麼攤主弄了個小黑板，就在街上表演二位數數字的速算起來，蠻多觀眾對其表現，嘖嘖稱奇，不知他到底用了什麼規則筆者記得大學剛畢業在國中教書時，就利用了速算來吸引學生學習的注意力及興趣，希望學生經由實例，看出某幾個速算規則，探究在何條件之下，可以使用這種規則，如下二例 並研究且說明（或用代數式證明）這些規則背後的數學原理這兩個速算規則顯然有相通之處，但少有人認真探究它們之間是否有關係，它們是否有相同的來源其實，它們只是簡化了乘法中交叉相乘部分的計算而已 貳、乘法算則的基本原理貳、乘法算則的基本原理 大家知道乘法的直式算則，只不過是利用位值原理、九九乘法及乘法對加法的分配律來做計算而已乘法直式算則，依照位值排列，分解後如下圖左式若不依位值排列，仿照多項式交叉相乘分解因式的列法，可列為下圖中式，(a)部分乘以 100加上(b)部分乘以 10,再加上(c)部分即為所得結果下圖右式是一般化的十字交乘表示法，假設第一個二位數的十位是 a，個位是 b，第二個二位數十位為 c 個位為 d，則其結果為 a*b*100+(a*d+b*c)*10+c*d， 結果結果:a*c*100+(a*d+b*c)*10+b*da*cb*da bc d a*d+b*c結果結果：15*100+(18+40)*10+48(c)(a)(b) 15483 85 618+403 8X 5 64 81 8 4 0 1 5 2 1 2 8（1）42656747 ×61032585 ×12027434 ×52095959 ×90219313 ×（2）36339575 ×90823535 ×23138545 ×21926525×30723515×二位數乘法的速算—交乘簡化原則 -33- 以代數算式計算實際就是(10a+b)*(10c+d)=100a*c+10(a*d+b*c)+b*d，其中 a,b,c,d 為小於 10 的非負整數。
因此，基本的二位數乘法，約需要 4個乘法，4 個加法觀察上述算式，我們可以看出，(a)(b)(c)三部分在相加的時候會有重疊的部分，(b)的十位與(c)的個位(只看上中圖,其實是十位)，(a)的個位與(b)的十位，這些重疊，及相加時可能的進位，就是計算會比較複雜的原因，純心算不易執行，因為腦中需要較多的暫時記憶 前一段所說的第一個乘法速算實例的規則其實不難，兩個二位數，若個位數之和為十，十位數相同，利用前述的代數算法，很容易看出速算的計算規則設相同的十位為 a，和為十的兩個個位分別為c，d，亦即 c+d=10，此時 (10a+b)*(10a+c)=100a*a+10a*(b+c)+b*c =100a*a+100a+b*c =100a*(a+1)+b*c 由 於b*c 的 結 果 最 多 只 有 二 位 ，100a*(a+1)的結果開始於百位，兩者不會有重疊的現象，因此，將 b*c 的結果寫在個位及十位（需要時補零） ，a*(a+1)的結果寫在百位開始的位置就好寫成直式對照，用 74*76 為例如下圖 觀察這個速算規則，其所以能簡化直式計算的原因是：簡化了交叉相乘部分的計算對照圖中的說明，這個計算維持了(b)部分的計算，改變了(a)部分的計算，而能夠如此是因為(c)部分（交叉相乘相加）的計算可以被簡化。
事實上，許多速算規則，都是透過簡化這一部份計算而得到的 叁、簡化乘法算則中的交叉相乘得到速算的規則叁、簡化乘法算則中的交叉相乘得到速算的規則 前圖右式的交叉相乘一般算式，若用橫式表示，就是dbcbdacadcba*)**(10*100)10)(10(+++++ += =+ ++ +若cbda**+ +為 10 的倍數，乘法直式算 則 就 可 以 簡 化 ， 因 為 此 時)**(10cbda+ +為 100 的倍數，設其為100N，此時結果就是 100(a*c+N)+bd，由於(a*c+N)與 b*d 沒有疊合，只需將其並列就可以得到答案，如下例： 其計算式是：4276= =× ×記在十位及個位，交叉相乘相加得 40，將824=×=×加上40 中的 4 得 12，記在千位及百位，結果就是 1242 上述方法，其實就是許多乘法速算的根源，看似簡單，但其交叉相乘的心算部分，仍然需要測試，若結果個位不是零 （其實是十位） ，此法就行不通了因此，若能事先看出哪些乘數及被乘數相乘的交叉相乘部分為 10 的倍數 （其實是 100 的倍數） ，計算就可以簡化了 算式dbcbdacadcba*)**(10*100)10)(10(+++++ += =+ ++ +7 4X 7 65 6 2 47*(7+1)56247 4 7 61212462746271242 1242428+4842428+48424 62 74 62 712+28=4012+28=40科學教育月刊 第 300 期 中華民國九十六年七月 -34- 中，交叉相乘部分為 a*d+b*c，因此只要看資它是否為 10 的倍數即可。
若 a,b,c,d中有兩個數相等，則原式可以化成 x(y+z) 的型態，其中 x 表示相同的數，y,z 表示另兩個數，它們的直式有如下的型態，其中y,z 位置是可以交換的 這種型態的乘式，可以簡化算則，我們分類討論如下： （1）y+z=10， 亦即「直式乘式中，有任一列（或行）數字相同，且另一列（或行）和為 10」 此時，我們可利用前述方法將計算簡化為： （注意：x 表示 a,b,c,d 中相同的數） 十位個位千位百位b*da*c+xa bc d十位個位千位百位b*da*c+xa bc d其計算可描述為「十位數相乘再加相同的數，結果記在千位百位，個位數相乘，結果記在十位個位」 以下為幾個計算實例： 2164+88 7 8 32164+88 7 8 3 7 2 2 17 2 2 17 7 4 67 7 4 6 3 5 4 228+7423 5 4 228+7424 3 6 34 3 6 3 2 7 0 924+39 2 7 0 924+39（2）y+z=5,x 為偶數，亦即直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為偶數，且 另 一 列 （ 或 行 ） 和 為5 因 為102)(22)(⋅=+=+⋅=+=+xzyxzyx是 10 的倍數，所以計算可以簡化為 a bc da bc da*c+x 2a*c+x 2b*d千位百位十位個位b*d千位百位十位個位以下為計算實例 8÷22 3 8 88÷22 3 8 8 2 0 2 416+424 2 0 2 416+4246÷2364+31 6 4 66÷2364+31 6 4 67 3 6 7 3 64÷2616+24 3 4 24÷2616+24 3 4 2 1 8 0 61 8 0 6（3）y+z=15,x 為偶數，亦即直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為偶數，且 另 一 列 （ 或 行 ） 和 為 15。
此 時1023)(32 23)(⋅=+⋅=+⋅=+⋅=+xzyxzyx為10的倍數，計算可化簡為 x y × x zx y × x zx x × y zx x × y zy z × x xy z × x xy x × z xy x × z x二位數乘法的速算—交乘簡化原則 -35- 十位個位十位個位千位百位千位百位b*da*c+3x 2b*da*c+3x 2a bc da bc d以下為計算實例 8×3 28×3 28 6 8 98 6 8 9 7 6 5 464+1254 7 6 5 464+12544×3 24×3 21656+67 4 8 41656+67 4 8 4 6 2 1 66 2 1 66×3 26×3 24248+96 6 8 74248+96 6 8 7 5 7 4 25 7 4 2（4）x=5,y+z 為偶數，直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為 5，且另一列 （ 或 行 ） 和 為 偶 數 此 時 ，2*10)(zyzyx+ +=+=+為 10 的倍數，計算可簡化為 a bc da bc da*c+y+z 2a*c+y+z 2b*d千位百位十位個位b*d千位百位十位個位以下為計算實例 7+1 27+1 29+7 29+7 25 7 5 15 7 5 1 2 9 0 725+474535+85 5 7 92 9 0 725+474535+85 5 7 9 4 3 4 54 3 4 5? ?6+8 26+8 22548+78 5 6 52548+78 5 6 5 5 5 2 55 5 2 5肆、速算規則的推廣肆、速算規則的推廣 前述的特殊二位數乘法速算規則，由於來源均為「簡化交乘」 ，他們的適用條件及計算方法都有相通之處，記憶較為簡便。
許多網頁描述的速算規則都含蓋在我們的規則（1）中例如 ? “尾數為 5 的平方速算＂（個位之和為 10 十位相同的乘法之特例） ? “首數為 5 的平方速算＂ （兩首位和是 10，兩尾數相同之特例） ? “個位之和為 10 十位相同的乘法＂ ? “兩首位和是 10， 兩尾數相同的兩位數相乘＂ ? “一個數的個位、十位數字相同，另一個數個位、十位相加得十＂的乘法 這些都合於我們規則（1）的條件，計算方法相通容易記得但是規則(2)(3)(4)的運用就很少看到了 簡化計算其實也有層次上的不同，例如 ? “十位相同的乘法＂ ? “個位之和為 10 的乘法＂ ? “個位相同的乘法＂ ? “十位數是 1 的兩位數相乘＂ ? “個位是 1 的兩位數相乘＂ ? “十位相同個位不同的兩位數相乘＂ 科學教育月刊 第 300 期 中華民國九十六年七月 -36- ? “首位相同，尾數和不等於 10 的兩位數相乘＂ 等，都對「交乘」有簡化的作用，但因其條件只是我們條件的一部分，或本質上計算就較容易，所以簡化計算的程度較少，在此狀況下，與直接使用算則差異不大，似乎沒有必要再去記憶它們的規則，甚至熟練它們的算法 我們的 4 個運算規則，其實也可以推廣到其他的狀況，例如十位數為零的兩個三位數相乘，如下例 8 0 7 8 0 38 0 7 8 0 3 6 4 8 0 2 164216 4 8 0 2 1642124162 0 38 0 824162 0 38 0 8 1 6 4 0 2 48÷21 6 4 0 2 48÷27 0 48 0 47 0 48 0 4 5 6 6 0 1 656165 6 6 0 1 656164×3 24×3 2它們背後的數學原理，不難推得。
伍、其他速算原理伍、其他速算原理 有些速算，透過乘法公式及形式的改變來簡化交乘例如 （（1）個位數之和為）個位數之和為 10,十位數差十位數差 1 設較大數的十位為 a,個位為 b,故另一數十位為 a-1,個位為 10-b, )100()1(1001002222babab)-b)(10a(10a b))-(101)-b)(10(a(10a−+−=−=+=−+−=−=+=+ ++ +其計算方法如下圖所示： a(a-1)+aa(a-1)+a十位個位千位百位十位個位千位百位a ba-1 10-b100-b2a2-1計算時，只要看較大數的十位(a)及個位(b)就好,其規則就是：將較大數十位的平方減去 1 為結果的千位及百位，將 100 減去個位數的平方為結果的十位及個位 （（2））40 幾的平方幾的平方 設此數個位為 b,由於 22222)10()15(100)10()116(100100201001001600801600)40(bbbbbbbbbb−++=−++−=+−++−=++=+−++=−++−=+−++−=++=+其計算方法如下圖所示： 16。