金融数学第二章风险、风险厌恶与随机占优资产定价理论的微观经济基础 § 经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的 § 风险有多种定义，不确定性 § 从定量模型化解释风险 § 投资人面临风险的决策（第一节） § Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节 ）§ 对风险的一般认识： § 经济系统中状态变量的事前不确定性 § 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化 问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 § 金融经济学框架的核心问题： § 如何分散风险 § 如何确定风险的合理价格 第一节 风险与风险偏好风险厌恶、风险中性与风险偏好 的数学表述 § 伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值） § Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数 § “预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望 § 例2.1Page 46风险厌恶的数学定义§ 如果F(x)是二项分布，则， § 风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数 § 严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0 § 定理2.1：对任意F，有 § 风险厌恶——效用函数为严格凹函数 § 证明需要使用Jensen不等式。
§ 同样：可以定义风险中性和风险偏好绝对风险厌恶与风险溢价 § 对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶， § 风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下§ Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数§ 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需 给予的溢价补偿也越大相对风险厌恶与风险溢价§ Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数§ 相对风险厌恶系数越大，所要求的单位 方差的相对风险 溢价补偿 也越高 风险溢价和风险厌恶对投资人 决策影响的实例说明 § 例2.2当前财富为W=a+(W－a) § 今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题§ 关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17） § a＊是解，是W的函数， § （2.17）中对W求导数， § （2.18）§ 随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化§ 假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 § 对r＞0和r＜0，都可得到 § （2.20a） § 从（2.17）得（2.21）§ u是凹函数，得（2.21a）§ 最后§ 风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着 总财富的上升而增加 § 关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 § 经过推导可知，要求三阶导数为正数 § 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险 决策的态度。
§ 在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性 投资人需要处理典型投资人对不同资产的风 险与收益的判断，即资产风险的度量问题 第二节 随机占优§ 怎样才能认为资产A比资产B更具风险？ § 简化的风险比较：均值-方差 效用 § 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大 ） § 即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X 方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X § 如下面的例子§ E(X)=E(Y)=2 ，Var(X)=4，Var(Y)=7 § 如果选择风险厌恶效用函数均值—方差效用不完整性说明 § 只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩 只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效 用才与真实的预期效用一致§ 两端取期望（w是期望值，数值），利用资产风险度量的一般方法§ Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风 险的分析框架 § 比较资产收益的分布，而不比较不同投资人 所依赖的不同的效用函数 § 一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变 下的分布扩展MPS § 假设有两种资产A和BA收益服从分布F（·） ，B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便 起见，令收益均属于区间[0，1]）。
一阶随机占优 FSD§ First-order Stochastic Dominance § FSD定义：对任意非减的函数u：R→R，§ 定理2.1是FSD的等价条件注意不等号方向FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z二阶随机占优 SSD§ Second-order Stochastic Dominance § SSD定义：F二阶占优于G，当且仅当§ 且对某些X值的集合，不等号成立 § 符号§ 可以证明，如果SSD成立，则， § 投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险 § SSD的三个等价条件 SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD其他特性§ SSD的3个等价表述§ “d”表示“依分布相等” § 引入“展形spread”的概念均值不变下的分布展形MPSmean preserving spreads——MSP § 讨论限定于两种资产相同的预期收益 § 图形表示 § 命题2-2 § 命题2-3 § G是F的MPS，等价于F，SSD，GJensen’s inequality 证明 § u是凹函数 § 证明过程：在均值点泰勒展开。