根的判别式【例1】当取什么值时，关于的方程1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根答案：（1）；（2）；（3）【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根 分析：列出△的代数式，证其恒大于零例3】当为什么值时，关于的方程有实根分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：△＝≥0，解得≥∴当≥且时，方程有实根综上所述：当≥时，方程有实根习题（一）一、填空题：1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 5、已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2=1有两个不相等实根,则k的取值范围是____.6、关于x的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是____.7、已知方程kx2-2kx+k=x2-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是____.8、关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0无实根,则k的最小整数值是____.二、选择题：9、下列方程中，无实数根的是（ ） A、 B、 C、 D、10、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A、 B、≤ C、且≠2 D、≥且≠211、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（ ） A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定三、试证：关于的方程必有实根。
习题（一）答案一、填空题：1、①；2、；3、≤；4、10 5、6、7、8、2二、选择题：9、C 10、C 11、A三：分两种情况讨论：（1）当时，；（2）当时，所以方程必有实根根与系数的关系例1:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值.解:例2. 已知关于x的一元二次方程.解: 是x2-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0方程无实根 ∴m=-1例3: 已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且求k的值.解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1·x2=2k-5两边平方得:(x1-x2)2=32经检验k1=3和k2=-1都适合题意.例4: 已知m是正实数,关于x的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0，求m的值.解:由根与系数间的关系可得 ①② 由已知条件5x1+3x2=0 ③解:①③组成的方程组 解得: 将方程组的解代入②得m=4或m=-4 ∵m是正实数 ∴m=4例5、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值 由①②③解得：或，又由④可知≥∴舍去，故例6、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。
略解：由≥0得≤≥0 ∴与可能同号，分两种情况讨论：（1）若＞0，＞0，则，解得＜1且≠0 ∴≤且≠0（2）若＜0，＜0，则，解得＞1与≤相矛盾 综上所述：当≤且≠0时，方程的两根同号例7、已知、是一元二次方程的两个实数根1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2）求使的值为整数的实数的整数值略解：（1）由≠0和△≥0＜0 ∵， ∴ ∴，但＜0 ∴不存在2）＝＝，要使的值为整数，而为整数，只能取±1、±2、±4，又＜0 ∴存在整数的值为－2、－3、－5例8、、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：略解：原式＝＝＝例9. 求一个一元二次方程,使它的两根分别是: . 解:记住公式：以x1x2为根的一元二次方程是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0,以为根的方程是：6x2+5x-25=0 例10、关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ； ＝ 分析：设另一根为，由根与系数的关系可建立关于和的方程组，解之即得答案：，－1练习（二）：一、填空题：1、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，的值是 。
2、已知、是方程的两根，则的值为 3、已知2x2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.4、已知方程3x2-2x-1=0的两根是x1,x2,则=____;=____;=____;=____.5、已知8x2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m互为倒数,则m=____.6、以3和-7为根的方程是____.二、选择题：7、已知≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为（ ） A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶38、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程：的根，则的值为（ ） A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3三、解答题：9、已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于的方程有实根，且为正整数，求代数式的值10、已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设、是方程的两根，且，求的值。
（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值11、已知x1,x2是方程x2-2(2m+1)x+3m2-4=0的根,且.求m的值.已知方程2x2+mx-2m+1=0的两个根的平方和是7.25求m的值.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和是11.求k的值.练习（二）答案：一、填空题： 1、2，2；2、43；3－4题略5、1