8 金属的结构和性质【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶 点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1 ( a )和(b),图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2 倍边长AB=2R：_ 1.225R中心到顶点的距离:AOB由图和正四面体的立体几何知识可知:1「2 —AB 2 BE 2 ( 1 *2 2)-' DE. I 3丿中心到底边的高度：中心到两顶点连线的夹角为:2+2 2|OA OB -AB --cos—1/ 2)2_(2R fl2 OA 0B)」1 l!I22(』R / 2 ) 本题的计算结果很重要由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空二 cosl-1/3 二 109.47中心到球面的最短距离OA R 0.225R隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 （ 见习题 9.04） 。
8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径空隙的实际体积小于八面体体积 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙2=2R2R1 1 _ 1二 _OCAC 二 ~_2 AB二2 2而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OC _R 二.2R _R0.414R0.414此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径r/ r是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时—的下限值8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离 解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为:OA 二_ AD 二 2 3R 1；. 155R3 3三角形空隙中心到球面的距离为：OA _R 」155R _R 二0.155R0.155是“三此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径,rj_ r角形离子配位多面体”中 的下限值8.4 】半径为 R 的圆球堆积成 A3 结构，计算简单立方晶胞参数 a 和 c 的数值解：图 9.4 示出 A3 型结构的—个简单六方晶胞。
该晶胞中有两个圆球、4 个正四面体空隙和两个正八面体空隙 由图可见， 两个正四面体空隙共用一个顶点， 正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数 a或b根据9.01题的结果，可得:a 二 J 2Rc 二 2 6R -3c / a 二 2 632 二 4 6R3、」633【8.5】证明半径为r的圆球所作的体心立方堆积中， 小球，四面体空隙可容纳半径为 0.291R的小球证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图 八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上因此,八面体空隙只能容纳半径为 0.154R的9.5 （ a ）和（b）由图 9.5 （ a）可见, 每个晶胞中6个八面体空隙》：一I4 .而每个晶胞中含 2个圆球，所以每个球平均摊到八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体,3个八面体空隙这些长轴为显-，2a，短轴为a （ a是晶胞参数）八面体空隙所能容纳的小球的最大半径ai圆球，：八面体空隙中心，图9.50即从空隙中心㈣四面体空隙中心）（沿短轴）到球面的距离，该距离为2R体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在 r 亠R0代入 ，得C3轴方向上互相接触，因而4a R4 3由图9.5 （ b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，64 2\ 2）心，因此每个晶胞有 12个四面体空隙。
而每个晶胞有 2个球，所以每个球平均、3 aR ：：0.154R每个面有4个四面体中摊到 6 个四面体空隙这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为a ， 4 条短棱皆为 2 四面体空隙所能容纳的小球的最大半径的半径R而从空隙中心到顶点的距离为 广 a R yTs R R 0・ 291R — = ■: — =4 4 「3rT 等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球「y \ 2 r 飞邛a-_1 + a[I2丿14丿口 a4 ，所以小球的最大半径为【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度 解：图9.6示出等径圆球密置单层的一部分由图可见，每个球图9.6（如A）周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所2以每个球平均摊到 3 个三角形空隙也可按图中画出的平行四边形单位计算该单位只包含一个球（截面）和 2个三角形空隙，即每个球摊到 2个三角形空隙设等径圆球的半径为 R，则图中平行四边形单位的边长为 2R所以二维堆积系数为:R2 : R222R sin 60 -0.906A3C3轴垂直，即与 （111）面平行A3型等 （001）面平行下面将通过两种密堆积【8.7】指出ai型和 型等径圆球密置单层的方向是什么?解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与 径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与 型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。
A1型密堆积可划分出如图9.7（a） 所示的立方面心晶胞在该晶胞中，由虚线连接的圆C球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即 3轴每一晶胞有4条体C对角线，即在4个方向上都有 3轴的对称性因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层ill L A{■> (b)图 9.7A3 型密堆 可划分出如 9.7（b） 所示的六方晶胞球 A 和球 B 所在的堆 都是密置 ． 些 面平行于（001） 晶面，即垂直于 c ，而 c 平行于六重 6A3【8.8 】 按下面（ a） ~（ c） A1 、 A2 及 型金属晶体的 构特征a） 原子密置 的堆 方式、重复周期（ A2 型除外）、原子的配位数及配位情况 b ） 空隙的种 和大小、空隙中心的位置及平均每个原子 到的空隙数目 c ） 原子的堆 系数、所属晶系、晶胞中原子的坐 参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空点 型式等解：（a）A1 ，A2 和 A3 型金属晶体中原子的堆 方式分 立方最密堆 （ccp） 、体心立方密堆（bcp）相六方最密堆 （hep）A1型堆 中密堆 的重复方式 ABCABCABC…，三一重复周期，A3型堆中密堆 的重复方式 ABABAB-，两一重复周期。
Al和A3型堆 中原子的配位数皆 12，而 A2 型堆 中原子的配位数 8— 14，在 A1 型和 A3 型堆中，中心原子与所有配位原子都接触．同 6 个，上下两 各 3 个所不同的是， A1 型C a C堆中，上下两配位原子沿 3的投影相差 60呈 6的称性，而 A3型堆中，上下两配位原子沿 c的投影互相重合在 A2型堆中，8个近距离（与中心原子相距•-3 aa2 ）配位原子在立方晶胞的点上，6个距离（与中心原子相距 ）配位原子在相品胞的体心上⑹ai型堆和2A5R型堆都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙四面体空隙可容半径 的小原子.八面体空隙可容半径 的小原子（R 堆原子的半径）在两种堆中， 每个原子平均到两个四面体空隙和 1个八面体空隙差在于，两种堆中空隙的分布不同在 A1型堆中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体角血R上，到晶胞点的距离 2 八面体空隙的中心分 在晶胞的体心和棱心上在0,0, _;0,0, 5 ；_2」丄 1_ ；厶,1，7A3型堆中，四面体空隙中心的坐参数分 8 8 3 3 8 3 3 8 而八面体2 , 1 , 1 ； 2 , 1 , 33 3 4 3 3 4空隙中心的坐参数分 。
A2型堆中有形八面体空隙、形四面体空隙和三角形空隙（亦可 形三方双空隙 ）八面体空隙和四面体空隙在空上是重复利用的八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上 每个原子平均至U 3个八面体空隙，空隙可容的小原子的最大半径 0.154R四面体空隙中心在晶胞的面上每个0.291R原子平均到 6个四面体空隙，空隙可容的小原子的最大半径 三角形空隙上是上述两种多面体空隙的接面，算起来，每个原子到 12个三角形空隙c）金属的构形式A1A2A3原子的堆系数74.05%68.02%74.05%所属晶系立方立方六方晶胞形式面心立方体心立方六方晶胞中原子的坐标参数10,0,0； 20,0,0;0,0,0;晶胞参数与原子半径的关系1 1—,o, — ；o,2 2才一2'_23 ‘3'2a 二 2 "2Ra 二 b 二 2R4 一 c 6R3 一点阵形式面心立方体心立方简单六方它们具有共性，也有差异 A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空A1型和A3 它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同 差别是它A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞其而A1型结构的对称性比 A3型结构的对称性高， 它属立方晶系，可 A1型结构将原子密置图 9.9综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。
尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但隙数目多，形状不规则，分布复杂搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要 型结构都是最密堆积结构， 们的对称性和周期性不同密置层方向与c轴垂直划分出包含4 个原吾的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直层中6轴所包含的3轴对称性保留了下来另外，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而 A1型结构可抽象出面心立方点阵8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元解：等径圆球的密置双层示于图9.9仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元这两个球分布在两个密置层中，如 球A和球B密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵即密置双层仍为 二维点阵结构 图中画出平面点阵的素单位， 该单位是平面六方单位， 其形状与密置单层的 点阵素单位一样，每。