2025年北京市丰台区高考数学一模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合U={−3,−2,−1,0,1,2}，A={x∈Z||x|<2}，则∁UA=( )A. {−1,0,1} B. {−2,−1,0,1,2} C. {−3} D. {−3,−2,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,−1)，则|iz|=( )A. 5 B. 5 C. 3 D. 33.( x−2x)6展开式中的常数项为( )A. 160 B. 60 C. −160 D. −604.已知a0)的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且|MF|=2，则p的值为( )A. 12 B. 1 C. 2 D. 46.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nB. 若m//n，n⊂α，则m//αC. 若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥αD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β7.已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“∀n∈N∗，Sn≤S8”是“a8≥0”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8.在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2DO=DA+DB，且|DO|=|DA|=2，则DO⋅DE的最大值为( )A. 3 B. 4 C. 6 D. 89.图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撤，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分(忽略杯底部分)外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径(即杯口直径)约6.92cm，下底直径约4.00cm，腹部最细处直径约3.46cm，主体部分高约6.92cm，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是( )(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73) A. 2 B. 2 C. 3 D. 310.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，E为CD的中点，F为线段A′C上的动点，给出下列四个结论：①存在唯一的点F，使得A，B′，E，F四点共面；②EF+D′F的最小值为2 3；③存在点F，使得AF⊥D′E；④有且仅有一个点F，使得平面AEF截正方体ABCD−A′B′C′D′所得截面的面积为2 5．其中所有正确结论的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知直线x−y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)有且仅有一个公共点，则r= ______．12.已知函数f(x)= x+1,x>0,x+a,x≤0.当a=0时，f(0)= ______；若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是______．13.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为______．14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，其中M，N是直线y=12与曲线y=f(x)的两个相邻交点.若|MN|=π3，则ω= ______，f(π2)= ______．15.已知函数f(x)=ex−acosx.给出下列四个结论：①当a=1时，f(x)在区间(−π2,0)上单调递增；②对任意实数a，f(x)都没有最小值；③当a≠0时，设f(x)的零点从大到小依次为x1，x2，x3，…，则对任意正整数i，都有xi−xi+1<π；④对任意实数a，m，存在实数x0，当t>x0时，恒有f(−t)+f(t)>m．其中所有正确结论的序号为______．三、解答题：本题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(本小题13分)在△ABC中，b2−a2−c2=−117ac．(Ⅰ)求sinB；(Ⅱ)若△ABC的面积为15 34，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求a．条件①：C=2π3；条件②：b=5；条件③：sinA−sinC=1．注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.(本小题14分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为等边三角形，AD//BC，AB=AD=12BC=2，∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：AC⊥平面PAB；(Ⅱ)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．18.(本小题13分)京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达 (Ⅰ)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；(Ⅱ)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．(i)记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；(ii)甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？(结论不要求证明)19.(本小题15分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以E的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为1．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于不同的两点M，N.过M作直线x=1的垂线，垂足为Q.求证：直线NQ过定点．20.(本小题15分)已知函数f(x)=lnx−ax，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线．(Ⅰ)当a=0，t=e(e为自然对数的底数)时，求l的方程；(Ⅱ)若存在l经过点(0,0)，求实数a的取值范围；(Ⅲ)当a=−1时，设点A(t,f(t))(t>0)，O(0,0)，B为l与y轴的交点，S△AOB表示△AOB的面积.求S△AOB的最小值．21.(本小题15分)已知无穷递增数列{an}各项均为正整数，记数列{aan}为数列{an}的自身子数列．(Ⅰ)若an=2n−1(n∈N∗)，写出数列{an}的自身子数列的前4项；(Ⅱ)证明：ak+1−ak≤aak+1−aak(k∈N∗)；(Ⅲ)若数列{aan}与{aan+1}是公差分别为d1，d2的等差数列．(i)证明：d1=d2；(ii)当a1=1，d1=9时，求数列{an}的通项公式．参考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B 11. 2 12.0 (−∞,1] 13.1，−2，4(答案不唯一) 14.2 32 15.②④ 16.解：(Ⅰ)在△ABC中，因为b2−a2−c2=−117ac，所以a2+c2−b2=117ac，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac，得cosB=1114，因为B∈(0,π)，所以sinB= 1−cos2B=5 314；(Ⅱ)选择条件①：因为C=2π3，所以sinC= 32，cosC=−12，由题意得S=12absinC=15 34，即 34ab=15 34，所以ab=15(1)．因为cosB=1114，sinB=5 314，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5 314×(−12)+1114× 32=3 314，由正弦定理asinA=bsinB，得ab=35(2)，由①②，解得a2=9，所以a=3；选择条件②：由题意得S=12acsinB=15 34，所以ac=21(1)．因为b=5，且b2−a2−c2=−117ac，所以a2+c2=58，又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，所以a+c=10(2)由(1)(2)解得a=3或a=7；选条件③：由sinA−sinC=1，可得sinA=1+sinC，因为C∈(0,π)，所以sinC>0，所以sinA>1，不成立．综上，选择条件①，a=3；选择条件②，a=3或a=7．17.解：(Ⅰ)证明：在△ABC中，因为AB=2，BC=4，∠ABC=60°，所以AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cosB=4+16−2×2×4×12=12．所以AC=2 3，又因为AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB．又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面PAB；(Ⅱ)分别取AB，BC中点O，E，连接OP，OE.所以OE//AC．因为AC⊥AB，所以OE⊥AB．又因为△PAB为等边三角形，所以OP⊥AB．因为AC⊥平面PAB，OP⊂平面PAB，所以AC⊥OP．又因为OE//AC，所以OE⊥OP．所以OB，OE，OP两两垂直．如图建立空间直角坐标系O−xyz，则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0, 3)，E(0, 3,0)，所以BP=(−1,0, 3)，PA=(−1,0,− 3)，AD=BE=(−1, 3,0)，PD=PA+AD=(−2, 3,− 3)，设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP=−x+ 3z=0n⋅BE=−x+ 3y=0，令y=1，则x= 3，z=1.所以n=( 3,1,1)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cos|=|n⋅PD||n||PD|= 65，所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 65．18.解：(Ⅰ)上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟，所以所求概率为47；(Ⅱ)(i)甲选取的列车运行时长不超过10小时的概率为24=12，乙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为23，丙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为47所以X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×37=114，P(X=1)=12×13×37+12×23×37+12×13×47=1342，P(X=2)=12×23×47+12×13×47+12×23×37=37，P(X=3)=12×23×47=421，所以X的分布列为：X0123P114134237421所以E(X)=0×342+1×1342+2×1842+3×842=7342；(ii)甲．19.解：(Ⅰ)由题意可得b=c,12×2bc=1,a2=b2+c2.解得a= 2,b=1,c=1．所以椭圆E的方程为x22+y2=1；(Ⅱ)证明：由题意知，直线MP的斜率存在．设直线MP的方程为y=k(x−2)，点M(x1,y1)f(x1,y1)，N(。