合同线性代数合同线性代数篇一：线性代数中的合同关系、正定矩阵什么是线性代数中的合同？ 惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系两个 n 阶方阵 A 与B 叫做合同的，是说存在一个满秩 n 阶方阵 P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系” 按照 它可以对 n 阶方阵的全体进行分类对于 n 阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果①每个 n 阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时 P 也是实的 ②对于一个 n 阶实对称矩阵 A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个， （相应的 P 也变化） 但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫 A 的正惯性指数） ，负数的个数也是一定的（叫 A 的负惯性指数） 结果②就是“惯性定理” 一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于 0.这个命题是否正确 不对，反例： 1221只有主对角矩阵才能说对角元素全大与 0 就正定设 M 是 n 阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量X=(x_1,.x_n) 都有 XMX′>0，就称 M 正定(Positive Definite)正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX 的矩阵 A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：阶对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 n 个特征值全是正数 证明：若 ， 则有∴λ＞0 反之，必存在 U 使 即 ： A 正定由上面的判别正定性的方法，不难得到 A 为半正定矩阵的充要条件是：A 的特征值全部非负 特征值都在主对角线上运算你知道的吧行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已当然这堆数排列成相当规范的 n 行 n 列的数表形式了所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算举个例子：比如说电视机（看做一个行列式） ，是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式） 那么这 n*n 个数字是按照什么规则进行运算的呢？行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的（共有 n!项） （这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！） 对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
二、行列式性质行列式的那几条性质其实也很容易记忆1、行列式转置值不变这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立2、互换两行（列） ，行列式变号3、两行（列）相等，则行列式为 04、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！5、两行（列）成比例，则行列式为 06、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变这 7 条性质往往组合使用来求行列式的值尤其第 7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用） ，最好能自己多做点练习三、行列式行（列）展开法则行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式 （即我一直强调的：要配套 ）如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零 （即：不配套 ） 矩阵小结初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的初等变换有三类：1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；2、数乘变换：数 k 乘以矩阵某行（列）的每个元素；3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数 k，然后加到另外一行（列）上。
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵1、交换阵 E(i,j)：单位矩阵第 i 行与第 j 行位置交换而得；2、数乘阵 E(i(k))：数 k 乘以单位矩阵第 i 行的每个元素（其实就是主对角线的 1 变成 k） ；3、消元阵 E(ij(k))：单位矩阵的第 i 行元素乘以数k，然后加到第 j 行上其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个 3 阶或者 4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换） 最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？当我们用初等矩阵左乘一个矩阵 A 的时候，我们发现矩阵 A 发生变化而成为矩阵 B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化具体来说：左乘的情况：1、E(i,j)A=B，则矩阵 A 第 i 行与第 j 行位置交换而得到矩阵 B；2、E(i(k))A=B，则矩阵 A 的第 i 行的元素乘以数 k 而得到矩阵 B；3、E(ij(k))A=B，则矩阵 A 的第 i 行元素乘以数 k，然后加到第 j 行上而得到矩阵 B。
结论 1：用初等矩阵左乘一个矩阵 A，相当于对矩阵 A 做了一次相应的行的初等变换右乘的情况：4、AE(i,j)=B，则矩阵 A 第 i 列与第 j 列位置交换而得到矩阵 B；5、AE(i(k))=B，则矩阵 A 的第 i 列的元素乘以数 k 而得到矩阵 B；6、AE(ij(k))=B，则矩阵 A 的第 i 列元素乘以数 k，然后加到第 j 列上而得到矩阵 B 结论 2：用初等矩阵右乘一个矩阵 A，相当于对矩阵 A 做了一次相应的列的初等变换~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~请注意并理解结论 1 和结论 2 中的“相应”两字初等矩阵为由单位矩阵 E 经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵 E 上的一个变换若某初等矩阵左（右）乘矩阵 A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵 E 上的变换，按照同种形式施加到矩阵 A之上或者说，我们想对矩阵 A 做变换，但是不是直接对矩阵 A 去做处理，而是通过一种间接方式去实现篇二：线性代数关于等价、相似、合同的对比定义如果一个矩阵 A 经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称 A 与 B 等价，记为 A~B。
等价具有反身性 即对任意矩阵 A，有 A 与 A 等价；对称性 若 A 与 B 等价，则 B 与 A等价传递性 若 A 与 B 等价，B 与 C 等价，则 A 与 C 等价用矩阵的初等变换求解矩阵方程 最常见的方程有以下两类：（1）设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是 n×m 矩阵，求出矩阵X 满足 AX＝B 原理：AX＝B 时（2）设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是 m×n 矩阵，求出矩阵 X 满足 XA＝B解：由方程 XA＝B XAA＝B A 解为 x= B A-1-1-1-1-1 要注意的是，矩阵方程 XA＝B 的解为 x= B ATTTTTTT，而不可以写成 x= ABTT-1T-1T因为 X 满足 XA＝BX 满足 AX＝B 从而有 X=（A） B=（BA）T-1所以，可以先用上述方法求解 A X＝B，再把所得结果X 转置即得所需的 X＝BA定义（向量组的等价）如果向量组 R 能由向量组 S 线性表出，反之,向量组 S 也能由向量组 R 线性表出，则称向量组 R 与 S 等价向量组之间的等价关系有下列基本性质：设 A,B,C 为三个同维向量组，则有定义 设 A 和 B 是两个 n 阶方阵，如果存在某个 n 阶可逆矩阵 p 使得 B=pAP。
则称 A 和 B 是相似的，记为 A～B1当两个 n 阶方阵 A 和 B 之间存在等式 B=PAP 时，我们就说 A 经过相似变换变成了 B同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似事实上，有矩阵等式-1 （2）对称性 若 A～B 则 B～A，这说明 A 和 B 相似与 B和 A 相似是一致的事实上，有（3）传递性 若 A～B，B～C 则 A～CP，这说明当 A和 B 相似，B 和 C 相似时，A 和 C 一定相似 事实上，由 B=PAP，C=QBQ 即可推出 C=QPAPQ=（PQ）A（PQ）定理 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式需注意的是 A 与 B不一定有相同的特征向量1-1-1-1-1定理阶方阵 A 与对角阵 PAP =特征向量1相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若 A 中任一 k 的特征根对应有 k 个线性无关特征向量，则 A 一定与对角阵∧相似.定义 如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交） ，则称该向量组为正交向量组。
定义 若是 R 中的一个正交向量组，且其中每个向量都是n单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组 （正交单位向量组） 定理 正交向量组必线性无关 必有向量组正交，且是标准正交组正交单位向量组)，则称 A 为正交矩阵则称 A 与 B 正交相似定义 如果 n 阶实方阵 A 满足定义 设 A，B 都是 n 阶方阵，若存在正交阵 P 使得定理 （对称矩阵基本定理）对于任意一个 n 阶实对称矩阵 A，一定存在 n 阶正交矩阵 P，使得对角矩阵中的 n 个对角元就是 A的 n 个特征值反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵 定理 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵 定义 设 A，B 都是 n 阶方阵，若存在可逆阵 P 使得则称 A 与 B 合同由上面的定义可见矩阵 A 与矩阵 B 相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若 Q 正交，则,所以 A 与 B 正交相似与 A 与 B 正交合同是一回事合同关系也有反身性：即任给方阵 A，有，所以， A 与 A 合同；，则对称性：若 A 与 B 合同，则存在可逆阵 P 使得所以 B 与 A 也合同传递性:因为 A 与 B 合同，B 与 C 合同，则存在可逆阵P，Q，使得A 与 C 合同。
定理 实对角矩阵定理 设 n 阶矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零注意 PQ 一定可逆，所以是正定矩阵，则 A 中所有对角元定理 设 A 与 B 是两个合同的实对称矩阵，则 A 为正定矩阵当且仅当 B 为正定矩阵 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵 定理 n 阶对称矩阵定理 n 阶对称矩阵推论 （1）n 阶对称矩阵（2）n 阶对称矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵的 n 个特征值全大于零 的 n 个顺序主子式的正惯性指数为 n.合同于单位矩阵 (3)任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.篇三：线性代数的学习方法线性代数的学习方法一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算 线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵 A＝(α1，α2。