固体物理学讲义3.1

第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系，因此在晶体内形成各种模式的波只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子 称为声子这样晶格振动的总体就可以看成声子系综若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用 表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维n空间，描述 N 个原子的位移矢量需要 3N 个分量，表为，将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开)3,21(i 高 阶 项jiNjijiii VV031,2010(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似N 个原子的动能可表示为： 231NimT引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示仅含平方项而没有交叉项，即： Niii QVT312312,由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为： )32,(,iqQdtii 其中 为广义力)32,1(1NqfqijNji 对于保守系，令 L=T-V（称为拉格朗日函数） ，得到保守系的拉格朗日方程：)32,1(0NiQLdtii 则正则方程为：)3,21(,02iii 其解为： ，当考察某一个 时，则：)sn(tAQii j)sin(tAmajiji一般来说，一个简正振动并不表示某一个原子的振动，而表示整个晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

由简正坐标所表示的体系中所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模如果利用量子力学进行求解，利用定态 Shrodinger 方程：EHˆ这里 为系统的哈密顿量， 为系统的本征态，E 为系统的本Hˆ征值， ，在坐标表象中， ，VTˆNi iiQ3122ˆ对于其中每一个简正坐标有： )()(212iiiiQ其解为：， iiin)21( )(2exp)( ii nnH其中 ，H n 为厄密多项式，而系统的本征解为：iQ，iNiE312Niin3121)(),(§3-2 一维单原子链考虑图 3-1 一维单原子链假定为同种原子，质量为 m，原子限制在沿链的方向运动各原子偏离平衡位置（格点）的位移用 等表示 ,,1n假定只有近邻原子存在相互作用，若平衡时互作用能为，a 为晶格常数令 ，则原子产生相对位移后的)(v 1n相互作用势能为： 2)(( aadrvrvv上式第一项为常数，第二项为零，若作小振动近似，则： 21)((adrvv因此相邻原子之间的作用力为：，这里dvFadrv2表明相邻原子间的作用是正比于相对位移的弹性恢复力。

考察第 n 个原子的运动，其受到的为： ，根)()(11nn据牛顿定律有：，n=1,2….N)(1nnm这里 N 为原子个数共有 N 个线性齐次方程组假设试探解为：（1）)(naqtinqAe代入方程得： ，即：][cos2][2 aqmii （2）si4上式和 n 无关，表明只要（2）式成立，则（1）为方程组的解讨论：（1）由（1） ，当第 n 个原子和第 个原子的距离n满足 的整数倍时，原子应振动而产生的)(anq2位移相等，由此可见晶格中各个原子间的振动都存在着固定的相位关系，即在晶格中存在着角频率为的平面波，称为格波显然该格波为简谐平面波如下图（2）格波的波长为 ，若令 表示沿格波传播方向q2n的单位矢量，则 表示格波的波矢波速（相速）为 qvp（3）格波波矢是表征格波的因子，由（2）式可以看出，在 以外不会产生新的格波频率，因此，为了2a保证格波波矢和频率的一一对应关系或者说：为了使 是 q 的单值函数，可以限定：naq 的取值范围常称为布里渊区正负 q 值对应一对相反的传播方向4）由 及 ，可以看出，格波的速2sin42aqmvp度是波长的函数。

通常频率和波矢的关系称为色散关系如下图（5）由于原子链的两端原子的情况实际上和中间不同，因此前面所考虑的情况只适合于无限长链为了避免这种情况，Born—Von Karman 提出了周期性边界条件，假定有无限多个相同的链首尾相连，即将有限长度的链进行周期性的解析延拓，这样前面的结果适用该链该链和实际上的有限长度的情况的确存在求解上的差别，但仔细分析知道，由于互作用是短程的，差别仅存在边界上少数几个原子，就有限晶体而言，大多数原子的实际运动情况不会受到该假设的影响在该假设条件下，第 1 个原子和第 N+1 个原子的运动情况相同由（1）得到：， （l 取整数）naq2因 q 介于 ，所以 l 为介于 的整数，, 2,N共 N 个相应地，q 也只能分立地取 N 个不同的值即不同取值的个数等于元胞的个数6) 在简谐近似下格波是独立的，按量子理论，格波的振幅对应系统的简正坐标，每种简正振动的能级是量子化的，能量本征值为： 能qnq)21(量激发的单元是 ，如果用声子的语言来描述，q该激发单元（能量量子）即为一个准粒子—“声子”的能量，一个格波即一种振动模称为一种声子。

当振动模处于 本征态时，称为有qn)21(nq 个声子，电子或者光子和晶格振动相互作用时，以能量量子 为单位，声子的数量和光子的数q量一样具有不确定性，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格 能量，q q称为发射一个声子7） 表示第 q 个格波引起第 n 个原子产)(naqtinqAe生的位移，因此，第 n 个原子的总位移应该是所有格波引起的位移的迭加，即qnaqtineA)(。