2021/12/26,近世代数,第二章 群论 9 群同态、同构,2021/12/26,一、定义1,若存在群,到群,的同态满射,，则称群,与群,同态；,若存在群,到群,的同构映射,，则称群,与群,同构.,假定,是集合,到,的一个满射，,，称,为,在,之下的象；,，称,为,在,之下的逆象.,为,2021/12/26,二、群同态性质,群,与,同态，,是,到,的同态满射，则,(1),(2),(3),(4),(5),定理1,(6),是循环群，则,也是循环群.,2021/12/26,定理2,两个代数系统,同态，,与,若,是群，,则,也是群.,证明：,，,是群，有结合律，则,也有结合律；,是同态满射，有,是,的左单位元；,是,的左逆元,也是群.,2021/12/26,例1 证明,关于,做成群.,证明：取,是,到,的同态满射，,而,是群，,因此,是群.,2021/12/26,例2,是,到,的同态满射，,全体正负奇数，,代数运算均为数的普通乘法,正奇数,1,负奇数,-1,是群，,而,不是群.,2021/12/26,三、同态核,思考题1：,，,，那么,例1,与,同态,2021/12/26,定义3,设,是群,到群,的同态映射,是,的单位元. 称,在,中的所有,的核, 记作,逆象组成的集合为同态映射,例3,是,到,的同态映射,全体偶数,2021/12/26,引理1,若,是群,到群,的同态映射,是单射,，则,证明：,而,是单射,若,，则,是单射.,2021/12/26,引理2,若,是群,到群,的同态满射,，则,证明：,2021/12/26,四、群同态基本定理,定理3 群,同它的每个商群,定义4 称群,到商群,的同态满射,为,的自然同态.,同态.,到,注：,2021/12/26,定理4 （群同态基本定理）,群,与,同态，,是,到,满射，则,的同态,证明：取,2021/12/26,说明：,定理3说明任何群都同它的商群同态；,同另一个群,同态，,在同构意义下是,的一个商群.,定理4说明一个群,则这个群,因此，在同构意义下，定理3与定理4的意,思是：每个群能而且只能同它的商群同态.,2021/12/26,推论1：设,与,是有限群，且,，则,推论2： 循环群的商群也是循环群.,整除,2021/12/26,五、群的同构定理,定理5 设,是群,到群,的同态满射,，则,，又,证明：取,2021/12/26,例4,，则,证明：,。