word三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1关键词：11引言122三角函数的根底知识232.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式42.3二倍角的正弦、余弦、正切公式555667889104 总结11AbstractTrigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems.Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函数在历史的开展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成局部，还是数学学习中得重点难点，总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。
本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论关键词：数学 三角函数 三角函数的应用1引言三角函数是高中学习的一类根本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型三角函数是高中数学重要的根底知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念与关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数的图象与应用、三角恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照与房屋建造合理性等在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具其中三角函数在导数的应用也颇为广泛三角函数起源“三角学〞，来自拉丁文 现代三角学一词最初见於希腊文最先使用这个词的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词它是由(三角学)与(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。
当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学因此解三角形构成了古代三角学的实用根底后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三角学，但是他们并没有创立起一门独立的三角学最后是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯，真正把三角学作为数学的一个独立学科进展阐释正三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学〞一词来自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中开展起来的近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的欧拉用小写的拉丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式由于上述数学家与19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论2三角函数的根底知识在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角如此定义以下运算方式： sin A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA＝a/c cos A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA＝b/c tan A=∠A的对边长/∠A的邻边长， tanA＝sinA/cosA＝a/ b tan A记为∠A的正切； 当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数〞。
SinA＝cosB sinB＝cosA在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y) 该直角三角形中，θ对边为y 临边为x 斜边为r，运算方法见表一表1根本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边 正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角θ的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角θ的斜边比对边如下是关于三角函数的诱导公式公式一：②P〔x，y〕，直线OP的反向延长线OE交圆O于F点，如此F点的坐标为F(－x,－y)由此可得到如下公式：公式二：公式三：公式四：公式五：由于，由公式四与公式五可得：公式六：公式五、公式六可以概括如下：的正弦〔余弦〕函数值，分别等于的余弦〔正弦〕函数值，前面加上一个把看成锐角的符号两角和、差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式3.三角函数与生活实际生活中，三角函数可以用来模拟很多周期现象，如物理中简谐振动、生活中的潮汐现象，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国防中都能找到三角函数的影子。
因而三角函数解决实际问题应用极广，解决实际问题有一定的优越地位一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，仰角是．后，火箭到达点，此时测得的距离是，仰角为1） 火箭到达点时距离发射点有多远？〔2〕火箭从点到点的平均速度是多少？解：〔1〕在中，〔km〕火箭到达点时距发射点约（2） 在中，（3）答：火箭从点到点的平均速度约为电缆铺设问题ACDBθ如图，一条河宽a 千米，两岸各有一座城市的直线距离是b 千米，今需铺设一条电缆连与，地下电缆的修建费是c万元/千米，水下电缆的修建费是d万元/千米，假定河岸是平行的直线〔没有弯曲〕，问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为时费用最少，因为河宽为定值，为了表示的长，不妨设解：设，∴总费用为=问题转化为求的最小值与相应的θ值，而表示点与点斜率-ac倍，有图可得在单位圆周上运动，当直线与圆弧切于点时，u取到最小值然后通过三角函数的边角关系求出直线的斜率，再求出此时的最小值u即可，可以根据实际问题带入求值ABCD如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点处发现海中的点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从点直接跳入海中；2号救生员沿岸边〔岸边看成是直线〕向前跑到点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离点最近的点，再跳入海中．救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．假如，，三名救生员同时从点出发，请说明谁先到达营救地点．解：〔1〕在中，．．． 在中，，． 1号救生员到达B点所用的时间为〔秒〕， 2号救生员到达B点所用的时间为〔秒〕， 3号救生员到达B点所用的时间为〔秒〕，号救生员先到达营救地点．足球射门问题GEPCFBAD在训练课上，教练问左前锋，假如你得球后，沿平行于边线的直线助攻到前场〔如图，设球门宽米，球门柱到的距离米〕，那么你推进到距底线多少米时，为射门的最优位置？〔即射门角最大时为射门的最优位置〕？请你帮助左前锋回答上述问题。
分析：此题关键在于求解射门时最大射门角，此时就是最优位置假如直接在非特殊中利用边来求的最值，显得比拟繁琐，注意到，而后两者都在中，故可应用直角三角形的性质求解 解：如图，设，,, =假如令，如此=，当,即时，取到最小值，从而可知时，取得最大值，即时，有最大值故当点距底线为米时，为射门的最优位置依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进展冲浪运动某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为的糖果的外层包装进展设计问能否设计出一个封闭的圆锥形状的外包装，其体积最小和所用材料达到最省？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装体积是多少？用料是多少？分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径、母线与高，这些变量之间的关系可以通过一个“角〞把它们联系起来PABCO解：如图，设∠OAC=θ，如此OC=1，下底面半径AC=R=cotθ,母线长l=，高h=Rtan2θ，θ∈〔0，〕如此=πRl+πR2=πR(+R)=πR2(+1) =πcot2θ(+1)=; V=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴当且仅当tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=时，能使和V同时取到最小值，此时R=，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是8π，体积是。
如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口，一机艇以千米/小时的速度从出发，分钟后因故障而停在湖里，机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向如何去营救，用图示表示营救的区域分析：要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；题中涉与到方向问题，所以不妨用方向角作为变量来求解解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进到达点Q发生故障而抛锚如此,令点Q的坐标为〔x,y〕，如此θ∈[0，]∴∵机艇中途东拐，…………①又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=msin(θ+)+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②满足不等式组①和②的点Q〔x,y〕所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示在某小区内，有一块地，这块地有这样三种情况：〔1〕是半径为10米的半圆；〔2〕是半径为10米，圆心角为的扇形；〔3〕是半径为10米，圆心角为的扇形；在这块地里种块矩形的草皮，具体见如下图，应如何设计，使得此面积最大？面积的最大值是多少分析：第一种情况，如下列图：连结，设，如此，，AθDBFECO这时 此时，点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。
θADBFECO分析2：第二种情况，连结，设，如此，，当且仅当时，即时，AθDB。