《正弦定理和余弦定理》典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：类型一：正弦定理的应用：例 1．已知在ABC中，c 10，A  45，C  30，解三角形.思路点拨思路点拨: :先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：解析：ac，sin AsinC∴a csin A10sin4510 2，sinCsin30∴B 180 (AC) 105，又bc，sinBsinC∴b csin B10sin1056 2 20sin 75  20 5 6 5 2．sinCsin304总结升华：总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上， 可以清楚地看出已知与求之间的关系， 从而恰当地选择解答方式.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形答案】【答案】根据三角形内角和定理，C1800(AB) 1800(32.0081.80)66.20；asinB42.9sin81.8080.1(cm)；根据正弦定理，bsinAsin32.00asinC42.9sin66.2074.1(cm).根据正弦定理，csinAsin32.00【变式 2】在ABC中，已知B  75，C  60，c  5，求a、A.【答案】【答案】A180 (BC) 180 (75 60 )  45，0000000根据正弦定理a55 6a ，∴.sin45osin60o3【变式 3】在ABC中，已知sin A:sin B:sinC 1: 2:3，求a:b:c【答案】【答案】根据正弦定理abc，得a:b:c  sin A:sin B:sinC 1: 2:3.sin Asin BsinC例例 2 2．．在ABC中，b 3,B  60 ,c 1，求：a和A，C．思路点拨思路点拨: : 先将已知条件表示在示意图形上 （如图） ，可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.1解析：解析：由正弦定理得：bc，sinBsinC∴sinC csin B1sin601，b23（方法一）∵0  C 180，∴C  30或C 150，当C 150时，BC  210 180， （舍去） ；当C  30时，A  90，∴a b2c2 2．（方法二）∵b  c，B  60，∴C  B，∴C  60即C为锐角，∴C  30，A  90∴a b2c2 2．总结升华：总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinC sin(1800C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，c 6，a  2，A  45，求b和B,C．【答案】【答案】∵accsin A6sin453，∴sinC ，sin AsinCa22∵0  C 180，∴C  60或C 120∴当C  60时，B  75，b csin B6sin7531；sinCsin60csin B6sin153 1；sinCsin60∴当C 120时，B 15，b 所以，b 31,B  75 ,C  60或b 31,B 15 ,C 120．【变式 2】在ABC中a  20,b 10 2,A  45, 求B和c；【答案】【答案】 ∵1a10 2sin B ，∴o2sin45sin B2∵0  B 180，∴B  30或B 150①当B  30时，C 105，c 10( 3 1)；②当B 150时，A B 195 180（舍去） 。

变式 3】在ABC中，B  60，a 14,b  7 6, 求A.asin B14sin6002【答案】【答案】由正弦定理，得sin A .b27 6∵a  b,∴A  B，即0  A 60∴A  45类型二：余弦定理的应用：类型二：余弦定理的应用：例例 3 3．．已知ABC中，AB  3、BC 37、AC  4，求ABC中的最大角思路点拨思路点拨: : 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：解析：∵三边中BC 37最大，∴BC其所对角A最大，AB2 AC2 BC23242( 37)21根据余弦定理：cos A  ，2AB AC2342∵0  A180，∴A 120故ABC中的最大角是A 120.总结升华：总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：举一反三：【变式 1】已知ABC中a  3,b  5,c  7, 求角C.a2b2c25232721 ，【答案】【答案】根据余弦定理：cosC 2ab2352∵0  C 180，∴C 120【变式 2】 在ABC中， 角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c， 若a:b:c 的各角的大小．【答案】【答案】设a 6k，b  2k，c ， 求ABC6 : 2 : 3 （ 1 ）o3 1 k，k  03根据余弦定理得：cosB 623 13 14622，2∵0  B 180，∴B  45；同理可得A  60；∴C 180  A B  75【变式 3】在ABC中，若a  b c bc，求角A.222b2c2a21 【答案】【答案】∵b c a  bc， ∴cos A 2bc2222∵0  A180，∴A 120类型三：正、余弦定理的综合应用类型三：正、余弦定理的综合应用例例 4 4．．在ABC中，已知a2 3，c 62，B450，求b及A.思路点拨思路点拨: : 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：解析：⑴由余弦定理得：b2a2c22accosB=(2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos450=12( 6 2)24 3( 31)=8∴b2 2.⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）b2c2a2(2 2)2( 6 2 )2(2 3)21∵cosA，2bc222 2( 6 2)∴A600.（法二：正弦定理）a2 33sin450∵sinAsinBb22 2又∵6 22.41.43.8，2 321.83.64∴a＜c，即00＜A＜900,∴A600.总结升华：总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，已知b  3,c  4,A 135.求B和C.【答案】【答案】由余弦定理得：a 3  4  234cos135  2512 2，∴a 222o02512 2  6.48bsin A3sin135o 0.327，由正弦定理得：sin B aa因为A 135为钝角，则B为锐角，∴B 19 7.∴C 1800(A B)  25053/.【变式 2】 在ABC中， 已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c， 若a  2，b  2 2，c 6 2，求角A和sin C【答案】【答案】根据余弦定理可得：00/b2c2a2884 3 43cos A2bc222 26 2∵0  A180，∴A  30；csin A∴由正弦定理得：sinC a6 2 sin3026 24.5。