13 数乘向量时间： 45分钟满分：80 分班级 ________姓名 ________分数 ________一、选择题： (每小题 5 分，共 5×6 ＝30 分 )1 ．已知 λ∈R ，则下列命题正确的是 ( )A． |λa|＝ λ|a| B． |λa|＝ |λ|aC． |λa|＝ |λ||a| D ．| λa|>0答案： C解析： 当 λ<0 时， |λa|＝λ|a|不成立， A 错误； |λa|是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，所以B 错误；当 ＝0 或a＝0 时，|λa|＝ 0，D 错误．故选 C.λ2 ．如图，是△的边AB的中点，则向量→＝ ()DABCCD→1→→1→A．－ BC＋ BAB．－ BC－BA22→ 1→→1 →C.BC－ BAD. BC＋BA22答案： A→→→→1→解析： CD＝CB＋ BD＝－ BC＋BA .23 ．在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线交 DC→→)于点 F，若 AB ＝ a， AD＝ b，则 AF＝ (1 1A. a＋ b B. a＋ b3211C． a＋ bD． a＋ b32答案： A解析： 由已知条件可知BE＝ 3DE，∴＝1，∴→＝→＋→＝→＋1→＝1＋b.DF3AB AFADDFAD3ABa34．如图，在△ ABC 中， AD＝ DB，AE＝ EC， CD 与 BE 交于点 F→→→.设 AB ＝ a，AC＝ b， AF＝ xa＋yb，则 (x，y)为 ()1122A.，B.，22331121C. ，3D.，233答案： C→1→→ → →→1 →→解析： ∵AD＝ DB，AE ＝ EC，∴F 是△ABC 的重心， 则DF＝3DC，∴AF＝ AD＋DF＝ AD＋DC＝ AD31→ →2 →1 →11 →1111＋(AC－ AD)＝ AD＋3AC＝AB＋ AC＝3a＋ b，∴x＝ ， y＝ .33333335 ．已知向量 a， b→→→)，且 AB ＝ a＋2b， BC ＝－ 5 a＋6b， CD＝ 7a－2b，则一定共线的三点是 (A． A，B， D B． A，B，CC．B，C，D D ．A， C， D答案： A→→→→→→解析：因为 BD ＝ BC＋CD＝ (－ 5 a＋ 6b)＋ (7 a－ 2 b)＝ 2a＋ 4 b＝2( a＋ 2b)＝2 AB ，所以 AB与 BD向量共线，又因为→→AB与 BD有共点 B，所以 A、 B、 D 三点共线．6 ．已知向量 a、 b 是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b 共线的条件是 ()① 2a－ 3 b＝ 4 e，且 a＋ 2b＝－ 3e；②存在相异实数 λ， μ，使 λa＋μb＝0 ；③ x a＋ y b＝ 0( 其中实数 x、 y 满足 x＋ y＝0) ；→ →④已知梯形 ABCD 中， AB∥CD， AB ＝ a， CD ＝b.A．①②④ B．①③C．②③④ D．③④答案： A解析： 关键是对共线向量的理解．二、填空题： (每小题 5 分，共 5×3 ＝15 分 )7 ．已知点 A、B、 C 三点共线，且点→→→O 是平面 ABC 内任意一点，若 OA ＝ λOB＋μOC，则 λ＋ μ＝________.答案： 18 ．已知 x，y 是实数，向量 a，b 不共线，若 (x＋ y－1) a＋ (x－ y)b＝ 0，则 x＝ ________，y＝ ________.11答案：22x＋ y－1 ＝ 01解析： 由已知得，解得 x＝y＝ .x－ y＝029 ．已知点 P， Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足→ →→ →→→PA ＋ PC＝ 0,2 QA ＋ QB＋ QC＝BC ，若|→|＝ | → |，则正实数＝ ________.PQλBCλ1答案：2→→→→→→→→解析： 由条件 PA＋ PC ＝ 0，知 PA＝－ PC＝CP ，所以点 P 是边 AC 的中点．又2QA＋ QB＋QC＝→，所以 2 →＝→－→ －→ ＝→ ＋→＋→ ＝2 → ，从而有→ ＝→ ，故点Q是边AB的中点，BCQABCQBQCBCCQBQBABQ所以 PQ 是△ABC 的中位线，所以→1→1|PQ|＝ |BC|，故λ＝ 。
22三、解答题： (共 35 分， 11 ＋ 12＋ 12)10．设两个非零向量e1 与 e2→→→不共线，如果 AB＝ e1＋ e2， BC＝ 2 e1＋8 e2 ，CD ＝ 3( e1－ e2)．求证： (1) A、 B、 D 三点共线；(2) 试确定实数 k 的值，使 ke1 ＋ e2 和 e1＋ ke2 共线．→→→→证明： (1) ∵BD ＝ BC ＋ CD＝ 5e1＋ 5 e2＝ 5 AB ，∴→ ∥→，又AB、BD有公共点，∴、、D三点共线．BD ABB A Bk＝λ(2) ∵ke1＋ e2 与 e1＋ ke2 共线，∴存在实数 λ使 ke1 ＋ e2＝ λ(e1＋ ke2 )，∴，∴k2＝ 1，∴k＝±1.1＝ kλ→1 →→→2 →m 的值．11．如图，在△ ABC 中， AN ＝NC，P 是 BN上的一点，若 AP＝ mAB＋AC，求实数311→→→ 1→→→2→解： AP ＝ AN＋ NP＝ AC ＋ NP＝ mAB＋AC ，411→→3→∴NP＝mAB －AC .44→→→3 →→→→1 →又NB＝NC＋ CB＝ AC＋ (AB－ AC)＝ AB－ AC，44设 → ＝→，则→ －1→＝ →－3 →，∴ ＝＝3.NPλNBλABλACmABACmλ44411→2 →1 →12．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 CP＝ CA ＋ CB， Q 是 BC 的中点， AQ 与 CP 的交点33→→为 M，若 CM＝ tCP，则 t 等于多少？→→。