导数——压轴题型归类总结

1 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 导数压轴题型归类总结导数压轴题型归类总结 目录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 目录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （1） 二、交点与根的分布（23） 三、不等式证明 （23） 三、不等式证明（31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围（51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用（70） 六、导数应用题 （70） 六、导数应用题（84） 七、导数结合三角函数 （84） 七、导数结合三角函数（85）（85） 2 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 书中常用结论 ⑴ 书中常用结论 ⑴sin ,(0, )xx x ， 变形即为， 变形即为 sin 1 x x  ， 其几何意义为， 其几何意义为 sin ,(0, )yx x 上的 的点与原点连线斜率小于 上的 的点与原点连线斜率小于1. ⑵⑵1 x ex ⑶⑶ ln(1)xx ⑷⑷ln,0 x xxex. 3 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数 axxf 2 )(. （1）当 1a 时，求函数 )()(xxfxg 在区间 ] 1 , 0[ 上的最小值； （2）当 0a 时，曲线 )(xfy  在点)))((,( 111 axxfxP处的切线为l，l与x轴 交于点 ) 0 , ( 2 xA 求证： axx 21 . 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数 22 ( )(23 )(), x f xxaxaa exR其中aR ⑴当0a 时，求曲线 ( )(1,(1))yf xf在点 处的切线的斜率； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当 2 3 a  时，求函数 ( )f x 的单调区间与极值. 4 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 3. 已知函数 22 1 ( )2, ( )3ln. 2 f xxax g xaxb ⑴设两曲线 ( )( )yf xyg x与 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 0a ，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值； ⑵若 [0,2], ( )( )( )(2)bh xf xg xab x 在(0,4)上为单调函数， 求a的取值 范围。

4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f(x)=lnx－ a x . (1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 3 2 ，求a的值. 5 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 5. （最值直接应用）已知函数)1ln( 2 1 )( 2 xaxxxf，其中aR. （Ⅰ）若2x 是)(xf的极值点，求a的值； （Ⅱ）求)(xf的单调区间； （Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围. 6. （2010北京理数（2010北京理数18）） 已知函数 ( )f x =ln(1+x)-x+ 2 2 x x(k≥0). (Ⅰ)当k=2时，求曲线y= ( )f x 在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求 ( )f x 的单调区间. 6 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 7. （2010山东文21，单调性） 已知函数 1 ( )ln1() a f xxaxaR x   ⑴当1a  时，求曲线 ( )yf x 在点(2, (2))f 处的切线方程； ⑵当 1 2 a  时，讨论 ( )f x 的单调性. 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数， 证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数( )ln , ( ). x f xx g xe ⑴若函数φ (x) = f (x)－ 1 1 x x + - ，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区 间(1,+∞)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切． 7 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 9. （最值应用，转换变量） 设函数 2 21 ( )(2)ln(0) ax f xaxa x  ． (1)讨论函数 ( )f x 在定义域内的单调性； (2)当 ( 3, 2)a  时， 任意 12 ,[1,3]x x  ， 12 (ln3)2ln3 |()()|maf xf x 恒成立， 求实数m的取值范围． 10. （最值应用） 已知二次函数 ( )g x 对xR 都满足 2 (1)(1)21g xgxxx且(1)1g ，设 函数 19 ( )()ln 28 f xg xmx （mR，0x ） ． （Ⅰ）求 ( )g x 的表达式； （Ⅱ）若xR ，使 ( )0f x  成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）设1me， ( )( )(1)H xf xmx ，求证：对于 12 [1,]xxm， ，恒有 12 |()()| 1H xH x ． 8 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 11. 设3x 是函数   23 , x f xxaxb exR   的一个极值点. （1）求a与b的关系式（用a表示b） ，并求  fx的单调区间； （2）设   2 25 0, 4 x ag xae     ，若存在  12 ,0,4  ，使得   12 1fg 成 立，求a的取值范围. 12. 2 ( )()() x f xxaxb exR ． （1）若 2,2ab  ，求函数 ( )f x 的极值； （2）若1x 是函数 ( )f x 的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用 a表示b） ，并确定( )f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设0a ，函数 24 ( )(14) x g xae  ．若存在 ]4 , 0[, 21  使得 1| )()(| 21 ff 成立，求a的取值范围． 9 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x  ()aR. ⑴当 1 2 a≤ 时，讨论 ( )f x 的单调性； ⑵设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a  时，若对任意 1 (0,2)x  ，存在 2 1,2x  ，使 12 ()()f xg x≥ ，求实数b取值范围. 10 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 14. 设函数1 1 ln)(   x a axxxf． （Ⅰ）当1a时，过原点的直线与函数)(xf的图象相切于点 P，求点 P 的坐标； （Ⅱ）当 2 1 0 a时，求函数)(xf的单调区间； （Ⅲ） 当 3 1 a时， 设函数 12 5 2)( 2 bxxxg， 若对于ex,0 1 （]， 2 x[0， 1] 使)( 1 xf≥)( 2 xg成立， 求实数b的取值范围. （e是自然对数的底，13 e） 11 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数 2 ( )ln , ( )3f xxx g xxax ． ⑴求 ( )f x 在[ , 2](0)t tt 上的最小值； ⑵若存在 1 ,xe e    （ e是常数，e＝2.71828）使不等式2 ( )( )f xg x 成立， 求实数a的取值范围； ⑶证明对一切 (0,),x 都有 12 ln x x eex  成立． 12 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 16. （最值应用） 设函数 ( )2ln q f xpxx x  ，且 ( )2 p f eqe e  ，其中e是自然对数的底数. ⑴求 p与q的关系； ⑵若 ( )f x 在其定义域内为单调函数，求 p的取值范围； ⑶设 2 ( ) e g x x  ，若在 1,e上至少存在一点 0 x，使得 0 ()f x ＞ 0 ()g x 成立，求 实数 p的取值范围. 13 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题） 设函数 1 ( )ln ().f xxax aR x  ⑴讨论函数 ( )f x 的单调性； ⑵若 ( )f x 有两个极值点 12 ,x x，记过点 11 ( ,()),A xf x 22 (,())B xf x 的直线斜率为 k,问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请 说明理由. 14 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 18. （构造函数，好，较难） 已知函数 2 1 ( )ln(1) (0) 2 f xxaxax aRa，. ⑴求函数( )f x的单调增区间； ⑵记函数( )F x的图象为曲线C，设点 1122 ( ,)(,)A x yB xy、是曲线C上两个不 同点，如果曲线C上存在点 00 (,)M xy，使得：① 12 0 2 xx x  ；②曲线C在 点M处的切线平行于直线AB，则称函数( )F x存在“中值相依切线”.试 问：函数( )f x是否存在中值相依切线，请说明理由. 15 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 19. (2011天津理19，综合应用) 已知 0a ，函数  2 lnf xxax ， 0x ．( f x的图象连续) ⑴求  f x 的单调区间； ⑵若存在属于区间 1,3的, ，且1≥ ，使   ff ，证明： ln3ln2ln2 53 a  ≤≤ ． 16 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 20. （恒成立，直接利用最值） 已知函数 2 ( )ln(1), 0f xaxxax a， ⑴若 2 1  x 是函数 )(xf 的一个极值点，求a； ⑵讨论函数 )(xf 的单调区间； ⑶若对于任意的 [1,2]a ,不等式  f xm≤ 在 1 [ ,1] 2 上恒成立，求m的取值范 围. 17 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 21. （最值与图象特征应用） 设 Ra，函数eaax e xf x )(1( 2 )( 2   为自然对数的底数）. ⑴判断 )(xf 的单调性； ⑵若 ]2 , 1 [ 1 )( 2 x e xf在 上恒成立，求a的取值范围. 18 环球雅思淮南二校数学组——张帅环球雅思淮南二校数学组——张帅 22. (单调性) 已知 ( )f x =ln(x+2)－x2+bx+c ⑴若函数 ( )f x 在点(1，y)处的切线与直线3x+7y+2=。