基本要求】1. 掌握理解二次型及其矩阵表示2. 会用正交变换法及配方法化二次型为标准形3. 了解掌握二次型的秩、惯性定律、二次型的正定性及其判别法主要内容】<1>二次型的正、负定判断：1. n阶实对称矩阵A正定o二次型f = XT AX是正定的o它的正惯性指数=n o A的所有特征值九〉0 o A的顺序主子式全大于零o A合同于Ei2. n阶实对称矩阵A负定o二次型f = XT ax是负定的o它的负惯性指数=n o A的所有特征值X < 0 o n个顺序主子行列式的值负正相间i<2>合同矩阵：1. 设A,B均为n阶实对称矩阵，如果有n阶实可逆矩阵P存在，使得 PTAP = B，则称A合同于B，记为A二B2. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵3. 实对称矩阵A = B的充要条件是：二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性 指数；必要条件是 r(A)= r(B)<3>化二次型为标准型：1. 配方法2. 正交变换法注：正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值, 而配方法没有这个属性典型例题】例 1 用配方法将下列二次型化为标准型，并写出所做的实可逆线性变换f ( X,X,X) = X 2+ X 2+X2+ XX+ 2 xx+ 2 xx123123122313f ( X,X,X) = X X+ 2 xX+3 X X123122313f ( X,X,X) = X 2+ X 2+X2+ 2 xx+ 2 xx+ 2 x X1231231213 2 3(1)(2)(3)解：(1) f = (Xi + X2 + X3)2 - X1X2x = y + y1 1 2令 < x = y - y ，2 1 2x = y - 2 y3 3 1(2) 分析 ：此题仅含有混合项，贝 I」f = - y 2 + y 2 + y 2。
123需先想办法生成平方项于是得(3)x=y +y112Vx=y -y，212x=y33=y2-y2 + 2 yy-2yy + 3 y y+ 3 y y121323 1 323= y2 -y2+5y y + y y= ( y + 2.5y )2-(y -121323132= y + 2.5 yy1=z- 2.5zx = z1311311= y -0.5y， 则Vy=z+ 0.5 z ，即x = z2322321=yy=zx = z33333f= z 2 -z2-6z2123, x )= ( x+ x +x)2231232z3z1- z 2 - 3z 330.5y )2 - 6y 233+ z — 2 z23S Z 2f (x1, xy1Sy2=x2= y 12y3=x3注意：1.用配方法化二次型为标准形时，定要保证所做的线性变换为可逆线性变换， 特别是此例第三小题，最后只有一个平方项，其变换中的后两个等式也不能少2.用配方法化二次型为标准形时，所做的可逆线性变换要保证变量个数不变例2用正父变换将二次型f (x , x , x ) = x 2 + 2x 2 + 3x 2 + 4x x - 4x x化为标准型。
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3'1 2 0 A解：二次型的矩阵为A = 2 2 - 2 ,< 0 - 2 3 丿其特征方程为：九-1 — 2九I — aI = — 2 九一20 202 =(九 + 1)(九一2 )(九一5 ) = 0,九一3则A的特征值是 九1 = -1,九2 = 2,九3 = 5 ,(2 2 1、丁对 X = 2，解(九 I — A) X = 9 22对 X = -1，解(九 I — A)X = 9，得 X = 一―,—，一1 1 1 I 3 3 37(2 1 2、对 = 5，解(九 I — A) X = e，得 X =3 3 3显然 X , X , X 是两两正交的特征向量，123(—2P T AP(X , X , X )=12，则P为正交矩阵，所以(—15丿—2丿PY ,令例 3 设 f( x 1，x 2,x 3) =2 x 1 +tx ；+tx 2贝 I」f = — y 2 + 2 y 2 + 5 y 223+ 4x x - 4x x正定，求t的取值范围1 2 1 3(2解：二次型f的矩阵为A =, 其顺序主子式分别为|a I = 2 |a |= 2(t — 2) |a |= 21(t — 4)1 2 3由于 f 正定，得2(t — 2) > 0, t > 4 .2t(t — 4) > 0例4设A为n阶实对称矩阵，证明当t充分大时，A + tI为正定矩阵。
证明： 设A的特征值为九,九，…,九，x.为九.对应的特征向量1 2 n i i（i = 1,2,…,n） . Ax = X x ,又（A + tI）x = X x + tx =（九 + t）x ， /. A + tI 的i i i i i i i i i特征值为 X + t, X + t, , X + t 1 2 n取t > max{ -X，-X，…，-X }，则A + tI的所有特征值均大于0，所以，当t充1 2 n分大时， A + tI 为正定矩阵例5 设A、B均为n阶正定矩阵，证明A + B也是正定矩阵证明：（用定义证明）J A、B均为n阶正定矩阵，则对任意n维非零实列向量x，均 有 xTAx > 0,xTBx > 0， xT （A + B）x > 0，即 A + B 为正定矩阵自我练习及解答】一、填空题⑴若二次型f (x , x , x ) = 2 x 2 + x 2 + x 2 + 2 xx + tx x是正定的，则t的取值范围1 2 3 1 2 3 1 2 2 3是 1 1 0 A(2)设 ，贝I」A 正定矩阵； 式子x2 + 2y2 + 2xy + 6yz + 3 A =10 2 7 / /次型；式子2 xx + 2 xx - 6 x x = 0 二次型(填“是”或者“不是”)1 2 1 3 2 3二、选择题(1) 二次型f (x , x , x ) = x2 + 2 x2 + 9 x2 + 2 x x + 6 x x的正惯性指数与负惯性指1 2 3 1 2 3 1 2 2 3数与符号差分别为 。
A) 2,0,2 (B) 2,0,0 (C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) f (x , x , x ) = - 2 x2 一 x2 一 x2 一 4 x x 一 6 x x 是 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3(A)正定的(B)负定的(C)既不正定也不负定 (D)无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 A *是A的伴随矩阵)(A) A，和A-i也正定，但A *不一定 (B) A-i和A *也正定，但A，不一定(C) A '、A-i、A *也都是正定矩阵 (D)无法确定(4) 二次型 f (x , x , x ) = x2 + x2 一 2x x 的矩阵是 1 2 3 1 2 1 2_ 1-2 0__ 1 — 1 0—1- 21一 1(A)01, (B)一 11, (C)01 0(D)—1 1 000 00 0 0二、设二次型 f (x , x , x ) = 2 x2 + 2 x2 + 3x2 + 2 x x1 2 3 1 2 3 1 2(1) 写出其矩阵表达式；(2) 用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换 .四、用配方法将下列二次型化为标准型，并写出所做的实可逆线性变换(1 ) f (x , x , x , x ) = x x + x x + x x + x x1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 1(2) f (x ,x , x ) = x 2 + 4 x x 一 8 x x1 2 3 1 1 2 2 3五、判断下列二次型的正定性：x x ) = 一 2 x2 一 6 x2 一 4 x2 + 2 x x + 2 x x2)2 3 1 2 3 1 2 1 3x x x ) = x2 + 3 x2 + 9 x2 + 19 x2 - 2 x x + 4 x x + 2 x x - 6 x x - 12 x x2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 4 3 4习题参考答案; (2)不是、不是、不是(1) -、：2 < t <「2(1)A;(2)C;(3)C;(4)D(1) f = C 1，x 2, x 3J210、(x )1)120x2003x四、(1) y 2 - y 2 线性变换为：12f = y 12+ 3 y2 +23y32x =y-y-y1123x =y +y-y< 2124x=y33x =y44x =y-2y+2y11231 x =y-y223x =3y3x = - 丁 y + t y1 二 1 2⑵< x = 丁 y + 丁 y 则标准形为x = y33⑵y 2 - 4 y 2 + 4 y 2 线性变换为:123五、1）不是正定的 （2）是正定的。