函数的单调性与最值一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）1．对于给定区间D上的函数，对于D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数; 当时，都有， 则称是区间D上减函数. 2．判断函数单调性的常用方法： （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法. 3.设那么上是增函数；上是减函数.4.设在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.5.如果和都是增(或减)函数,则在公共定义域内是增(或减)函数; 增减,则是增函数;减 增,则差函数是减函数.6．基本初等函数的单调性（1）一次函数. 当在上是增函数；当在上是减函数（2）二次函数.当在上是减函数；在上是增函数；当在上是增函数；在上是减函数；（3）反比例函数. 当在上是减函数，在上是减函数；当在上是增函数，在上是增函数4）指数函数.当在上是增函数；当在上是减函数5）指数函数当在上是增函数；当在上是减函数7.函数的最值对于函数y=f(x)，设定义域为A，则（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。
2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 二、题型探究【探究一】：判断证明函数的单调性例1：试判断函数在区间（0，1）上的单调性.例2：下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）（A）（B） （C） （D）探究二：抽象函数的单调性例3：【2013师大精典题库】定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x，f(x)> 0；(3)证明：f(x)是R上的增函数例4：函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 11)证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.探究三：与单调性有关的参数问题例5：若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） 探究四、函数的单调性与最值例6：求下列函数的值域1、 y＝2、 y=x+3、 4、 ,表示不超过x的最大整数例7：12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. w w w .x k b 1.c o m①当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.三、方法提升1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法；3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。
四、反思感悟 五、课时作业一、选择题1. 【15高考改编】函数的定义域为（ ） A. B C. D. 2. 【15高考改编】已知函数，，若，则（ C ）A. 3 B. 2 C. 1 D. -13.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是（A ）A．（，） B．（，） C．（，） D．4.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （D ）A． B．C． D．5.已知f（x）是R上的奇函数，且f（2）=0，x为单调增函数，求x f（x）的解集（ ）A．[-2，0] B. C. D.6.偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．7.设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．A．4 B．8 C．10 D．168.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( ) A. B. C. (－∞,5) D.9.已知函数，则函数的最大值是 （ ）A．22 B．13 C．11 D．－310.函数的最大值为，最小值为，则高考资源网 A. B. C. D.二、填空题11.函数 ，则的最大值、最小值为 。
12. 当x则函数的最大值为 13.设x∈R，则函数f (x) =的最小值为 14.已知+= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 三、解答题15.求证：函数，在区间上是减函数16.已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围17.已知函数（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数 的最大值18.对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数1）求闭函数符合条件②的区间[]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围答案解析一、选择题1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.B 10.D 二、填空题11.10,－1 12. 13.1314.100 + 25，100 – 25三、解答题15.解析：设则 在区间上是减函数。
16.解析：（1）当时， 易证在上是增函数（须证明一下） （2）由有对恒成立 令 即 （另有讨论法求和函数最值法求）17.解析：设 （1） 在上是减函数 所以值域为 （2） 由 所以在上是减函数 或（不合题意舍去） 当时有最大值， 即18.解析：（1）由题意，在[]上递减，则解得所以，所求的区间为[-1，1] （2）取则，即不是上的减函数取，即不是上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根当时，有，解得当时，有，无解 综上所述，。