2.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二 向量的正交分解思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．梳理 正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．( × )提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．类型一 对基底概念的理解例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.答案 ②③解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e1＋e2，e1＋3e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1－e2.答案 ②⑤解析 由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，∴2e1－e2与e1－e2共线，⑤不能作基底．类型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.引申探究若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解 取CF的中点G，连结EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b.又∵＝＝，∴＝＝＝a＋b.又∵＝＝＋＝＋＝＋，∴＝＝b＋＝a＋b.反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解 ＝＋，＝＋.设＝m，＝n，则＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝＋n(－)＝b＋n＝(1－n)b＋na.∵a，b不共线，∴即∴＝a＋b.类型三 平面向量基本定理的应用例3 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．解 方法一 (基向量法)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.方法二 (待定系数法)如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以，＝＝λ＋μ，即＝λ＋μ.因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝1，所以λ＋μ＝.反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练3 已知向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解 将a＝e1＋e2与b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb，得c＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2.因为c＝2e1＋3e2，且向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得1．已知＝a，＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则＝________________.(用a，b表示)答案 a＋b2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.答案 －15 －12解析 ∵向量e1，e2不共线，∴解得3．如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．答案 a＋b 2a＋c解析 由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到．4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，又∵与不共线，∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．2．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．3．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、填空题1．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案 －2或2．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.答案 －解析 由方程组解得所以e1＋e2＝＋＝a＋b.3．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①与；②与；③与；④与.答案 ①③解析 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线，而∥，∥，故①③可作为基底．4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.5．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为________．答案 4解析 因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得6．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是____________．答案 x＋y－2＝07．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为________．答案 解析 ∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s，∴r＝，s＝－.∴3r＋s＝－＝.8．设e1与e2是两个不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－2e1＋5e2，若实数λ，μ满足λa＋μb＝5e1－e2，则λ，μ的值分别为____________．答案 1，－1解析 由题设λa＋μb＝(3λe1＋4λe2)＋(－2μe1＋5μe2)＝(3λ－2μ)e1＋(4λ＋5μ)e2.又λa＋μb＝5e1－e2，由平面向量基本定理，知解得λ＝1，μ＝－1.9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________________.答案 a＋b解析 如图，设＝λ，＝μ，则＝－＝b－a，故＝＋＝a＋λb.∵＝＝(＋)＝＝a＋b，∴由平面向量基本定理，得∴∴＝a＋b.10.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案 解析 设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.二、解答题11．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d；(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．解 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，。
