1.1.1 锐角三角函数 一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )A. B. C. D.2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( )A. B. C. D.3．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各三角函数值( )A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．都不变 D．都扩大为原来的4倍4．如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是 ( ) A. B. C. D.5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是( )A. B. C. D.6．如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )A．2 B. C. D.二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝13，AC＝7，则sinB＝________．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．9.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝________．10．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号).11．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．12．如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__________.三、解答题13．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，CD＝3，求tan∠CBD和sinA的值．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．15．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求sin∠EAC的值． 答案1． A2． C3． C [解析]∵各边的长度都扩大为原来的2倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．4． C [解析]∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，只有选项C错误，符合题意．5． A [解析]连结DC，则∠B＝∠D，∴sinB＝sinD＝＝.故选A.6． D [解析]∵由图可知，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90，∴cos∠ABC＝＝.故选D.7． 8． 9． 10．②③④ 11． 12． [解析] 连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60得到P′C，∴PC＝PC′＝6，∠PCP′＝60，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6.∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60，∴∠PCB＝∠P′CA，∴△PCB≌△P′CA(SAS)，∴P′A＝PB＝10.∵62＋82＝102，∴PP′2＋PA2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90，∴sin∠PAP′＝＝＝.13．解：在Rt△BCD中，∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝4，∴tan∠CBD＝.∵AC＝AD＋CD＝5＋3＝8，BC＝4，∴AB＝4 ，∴sinA＝.14．解：由图可知∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180，根据折叠的性质，得∠EFC＝∠EDC＝90，∴∠AFE＋∠BFC＝90.在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90，∴∠AFE＝∠BCF.根据折叠的性质，得CF＝CD，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理，得BF＝6，∴tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝.15．解：由题意知EC＝2，AE＝.过点E作EM⊥AC于点M，∴∠EMC＝90，易知∠ACD＝45，∴△EMC是等腰直角三角形，∴EM＝，∴sin∠EAC＝＝.1.1.2 锐角三角函数一、选择题1．cos30的值为( )A. B. C. D.2．下列各式中，正确的是( )A．sin60＝B．cos60＝cos(230)＝2cos30C．sin45＋cos45＝1 D．sin60＝cos303．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是( )A. B. C. D. 4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是( )A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形5．sin30，cos45，cos30的大小关系是( )A．cos30>cos45>sin30B．cos45>cos30>sin30C．sin30>cos30>cos45D．sin30>cos45>cos306．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AB＝8，则BC的长是( )A. B．4 C．8 D．4 7．在△ABC中，若∠A，∠B满足＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )A．45 B．60 C．75 D．105二、填空题8．计算：sin60tan60＋tan45＝________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2，BC＝，则sin＝________．10．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值为________．11．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA＝________．12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30，AE＝3，则AC的长为________.三、解答题13．计算：(1)sin245＋tan60cos30－tan45；(2)tan30sin60＋cos230－sin245tan45.14．计算：－22＋(π－2017)0－2sin60＋|1－|.15．如图，一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A(3，n)．(1)求m与n的值；(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，连结OA，求∠BAO的度数.16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD＝30，AB＝，求△AOC的面积．17．阅读探究一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如：sin90＝sin(60＋30)＝sin60cos30＋cos60sin30＝＋＝1.(1)sin15的值是________；(2)用以上方法求sin75的值．18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45角的三角板的斜边与含30角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题． 答案1． B 2． D3． B4． C5． A [解析]因为sin30＝，cos45＝，cos30＝，且>>，∴cos30>cos45>sin30.故选A.6． D [解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AB＝8，cosB＝，即cos30＝，∴BC＝8＝4 .故选D.7． D [解析]由题意得cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30，∠B＝45，∴∠C＝180－30－45＝105.8． 9． 10． [解析] 连结AB，∵以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA＝OB.∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60，∴sin∠AOB＝sin60＝.11． 1 [解析] 设小正方形的边长为1，则AC2＋BC2＝5＋5＝10，AB2＝9＋1＝10，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠C＝90，∴tanA＝＝1.12． 4 13．解：(1)sin245＋tan60cos30－tan45＝()2＋－1＝＋－1＝1.(2)tan30sin60＋cos230－sin245tan45＝＋()2－()21＝＋－＝.14．解：－22＋(π－2017)0－2sin60＋＝－4＋1－2＋－1＝－3－＋－1＝－4.15．解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点A(3，n)，∴n＝.∵一次函数y＝x＋m的图象过点A(3，n)，∴m＝－2 .(2)过点A作AC⊥x轴于点C，由(1)可知直线AB的函数表达式为y＝x－2 ，∴B(2，0)，即OB＝2.又AC＝，OC＝3，∴BC＝OC－OB＝1，∴AB＝＝2＝OB，∴∠BAO＝∠BOA.在Rt△OAC中，tan∠BOA＝＝，∴∠BOA＝30，∴∠BAO＝∠BOA＝30.16．解：(1)证明：由折叠的性质，可得AE＝AB，∠E＝∠B＝90.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠D＝90，∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90.又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD(AAS)．(2)∵∠OCD＝30，AB＝＝CD，∴OD＝CDtan∠OCD＝＝1，∴OC＝＝2.由(1)知△AOE≌△COD，∴OA＝OC＝2，∴S△AOC＝OACD＝2＝.17．解：(1)(2)sin75＝sin(45＋30)＝sin45cos30＋cos45sin30＝＋＝.28．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30，AC＝＝2 ，则EF＝AC＝2 .∵∠E＝45，∴FC＝EFsinE＝，∴AF＝AC－FC＝2 －.。
