求函数最值的常用如下措施： 1．函数单调性法先拟定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值.这种运用函数单调性求最值的措施就是函数单调性法．这种求解措施在高考中是必考的,且多在解答题中的某一问中浮现.例1 设ａ>1，函数f（ｘ)＝loｇaｘ在区间［a,2ａ]上的最大值与最小值之差为，则a=＿_＿_____.【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后运用条件求得参数a的值.【解析】 ∵ａ>1，∴函数f（x)＝ｌｏgａｘ在区间[a,2a］上是增函数,∴函数在区间[a，２a]上的最大值与最小值分别为ｌｏga2ａ,loｇaa=1.∴loｇa2=,a=4.故填4.【讲评】 解决此类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点解决好了,如下的问题就容易了.一般而言,对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间［m，n]上的最值:若函数f(x)在［m，n]上单调递增,则f(ｘ)ｍiｎ＝ｆ（m)，f(x)maｘ=ｆ(n）；若函数f(ｘ)在[ｍ，n]上单调递减,则ｆ（x)mｉn=ｆ(n)，f(x)max＝f（ｍ）；若函数f（x)在[m，n]上不单调，但在其提成的几种子区间上是单调的,则可以采用分段函数求最值的措施解决.２．换元法换元法是指通过引入一种或几种新的变量，来替代本来的某些变量(或代数式),以便使问题得以解决的一种数学措施．在学习中，常常使用的换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的措施，以便将复杂的函数最值问题转化为简朴函数的最值问题，从而求出原函数的最值.如可用三角代换解决形如a2＋ｂ2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 （1）函数f(ｘ）＝x+２的最大值为____＿___.【解析】 措施一:设＝t(t≥０），∴x=１－t2,∴y＝x+2=1－t2+2t＝－ｔ２＋2t＋１＝-（ｔ－1)2＋2,∴当t＝1即ｘ＝０时,ｙmax=2.措施二：f（x)的定义域为{x｜ｘ≤１},f′(x)＝1-，由ｆ′(x)=0得x＝0.00，f(x)为增函数.∴当x＝0时，f(x）max=ｆ(0）＝２.(２)求函数ｙ＝ｘ+的值域.【解析】 换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2,∴设ｘ＝2cosθ(θ∈[0，π］),则y=2cosθ+=2ｃoｓθ＋２sｉnθ＝2siｎ(θ＋),∵θ+∈［，]∴sｉｎ(θ＋)∈[-,１］,∴y∈[－2,2].3.配措施配措施是求二次函数最值的基本措施，如F(x）＝ａf２（x)+ｂf(x）+c的函数的最值问题,可以考虑用配措施．例3 已知函数y＝(ex-a)2＋(e－x－a）2（a∈R，ａ≠0),求函数ｙ的最小值.【思路】 将函数体现式按eｘ＋e－x配方,转化为有关变量ex＋e－x的二次函数.【解析】 y=(ex-a）2+(e-x－ａ）2=(eｘ+ｅ-ｘ)2-2a(ex+e－x)＋２a2-2.令t＝ｅx＋e-x，f(ｔ）=t2-２at+2a2－2．∵ｔ≥2，∴f(ｔ)=t2－2at+2a2-2＝(t-ａ）2＋a2－2的定义域为[2，＋∞).∵抛物线y=ｆ(t)的对称轴为t=a,∴当a≤2且a≠0时，ｙｍｉn=f(2)＝2（a－１)2;当a＜０时，yｍiｎ=ｆ（a)＝ａ２-２.【讲评】 运用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范畴,同步还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后,求解最值时要细心辨别：对称轴与区间的位置关系,然后再根据不同状况分类解决.4.不等式法运用不等式法求解函数最值,重要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种措施.常常使用的基本不等式有如下几种:ａ2＋b2≥２ab(a，b为实数);≥（a≥0，b≥0);ab≤（)2≤(ａ，b为实数)．例４ 设ｘ，y，z为正实数,x－２y＋3z＝0,则的最小值为______＿_．【思路】 先运用条件将三元函数化为二元函数,再运用基本不等式求得最值．【解析】 由于x-2ｙ＋３z=0，因此ｙ=，因此＝.又x，ｚ为正实数,因此由基本不等式,得≥=３，当且仅当x=3z时取“＝”.故的最小值为３.故填3．【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题,一般地,可将此类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在运用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”,特别是“三相等”，是我们易忽视的地方，容易产生失误．5.平措施对含根式的函数或含绝对值的函数，有的运用平措施,可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题.例5 已知函数y＝+的最大值为M，最小值为m，则的值为（ )A. ﻩＢ.Ｃ. D.【思路】 本题是无理函数的最值问题,可以先拟定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题,进而可以运用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得因此函数的定义域为{x|-3≤ｘ≤１}.又两边平方，得y2=4＋2·=４＋2.因此当ｘ＝－１时,y获得最大值M＝２；当ｘ＝-３或1时,y获得最小值ｍ=2，∴选C【讲评】 对于形如y=＋的无理函数的最值问题,可以运用平措施将问题化为函数y2＝（ａ＋b)+２的最值问题，这只需运用二次函数的最值即可求得.６．数形结合法数形结合法，是指运用函数所示的几何意义,借助几何措施及函数的图像求函数最值的一种常用的措施.这种措施借助几何意义,以形助数,不仅可以简捷地解决问题,又可以避免诸多失误,是我们开阔思路、对的解题、提高能力的一种重要途径.因此，在学习中，我们对这种措施要细心研读,认真领略，并对的地应用到有关问题的解决之中．例6 对a，b∈Ｒ，记ｍax|a,ｂ|＝函数f(x)=maｘ｜|x+1｜，|x－2|｜(x∈R)的最小值是____＿___.【思路】 本题实质上是一种分段函数的最值问题.先根据条件将函数化为分段函数,再运用数形结合法求解．【解析】 由|ｘ+１|≥|ｘ－2|，得(x＋1)２≥（x-2)2,因此ｘ≥.因此f（x)=其图像如图所示．由图形易知，当x=时，函数有最小值，因此f(ｘ)min=f()=|+1|＝．７．导数法设函数f（x)在区间[a，b］上持续,在区间(ａ，b)内可导，则f(x)在［a，ｂ]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与ｆ(a)、f（b）中的最大值和最小值．运用这种措施求函数最值的措施就是导数法．例7 函数ｆ(ｘ)=x3－3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是_＿＿_____．【思路】 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，拟定最值．【解析】 由于f′（x)=3x2-3,因此令f′(x)＝０,得x=1(舍去)．又f(－３)＝－17,ｆ(-1)＝3,f(0)＝1,比较得,f(ｘ)的最大值为3,最小值为-17.【讲评】 (1)运用导数法求函数最值的三个环节：第一,求函数在(a，b)内的极值;第二,求函数在端点的函数值ｆ(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小,即得函数的最值．(2）函数的最大值及最小值点必在如下各点中获得:导数为零的点,导数不存在的点及其端点．8.线性规划法线性规划法，是指运用线性规划的基本知识求解函数最值的措施．线性规划法求解最值问题，一般有如下几步:(1)由条件写出约束条件;(2)画出可行域,并求最优解；(3)根据目的函数及最优解，求出最值．例8 已知点P(x，y)的坐标同步满足如下不等式:ｘ＋y≤4,y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点,那么|ＯP|的最小值等于__＿＿＿___,最大值等于__＿_____.【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题,求解时,先找出约束条件,再画可行域，最后求出最值．【解析】 由题意,得点P(ｘ,ｙ）的坐标满足画出可行域,如图所示.由条件,得Ａ（2,2)，|OＡ|＝2;B(1,３),|OB|=;C(１,1）,|OC|＝.故|OP｜的最大值为，最小值为．。